1 Übersicht

In diesem Kurs lernst du die Geosynchrone Umlaufbahn kennen. Satelliten auf dieser Bahn benötigen die gleiche Zeit für einen Umlauf wie die Erde für eine Umdrehung. Dies ist z.B. die Voraussetzung dafür, vom Satellit aus immer den gleichen Blick auf die Erde zu haben. Das ermöglicht die TV-Satelliten-Übertragung und die Erfassung von Wetterdaten.

Vorwissen

Zentripetalkraft
Gravitationskraft

Kursdauer

ca. 60 min

2 Einführung

Körper bewegen sich nach dem Trägheitsgesetz (1. Newtonsches Gesetz) immer mit gleichbleibender Geschwindigkeit geradeaus, falls sie nicht von einer äußeren Kraft beschleunigt / abgelenkt werden. Auf einer Kreisbahn ändert ein Körper dauernd seine Richtung, er muss also dauernd durch eine Kraft beschleunigt werden. Man spricht auch von einer Beschleunigung, wenn sich „nur“ die Richtung der Geschwindigkeit ändert.

Bildquelle: Tobias Rütten, Metoc, CC BY-SA 2.5, Wikimedia

Diese Kraft nennt man Zentripetalkraft. Sie zeigt immer Richtung Mittelpunkt des Kreises. Es gilt:

$F_{Z}=\frac{m v^2}{r}$

mit $m$ = Masse des Körpers, $v$ = Geschwindigkeit des Körpers, $r$ = Radius der Kreisbahn.

Als zweites benötigen wir das Gravitationsgesetz, das die Anziehungskraft zweier Massen $m_{1}$ und $m_{2}$ beschreibt. Es gilt:

$F_{Grav}=G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}$

mit der Gravitationskonstante $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \frac {m^3}{kg \cdot s^2}$

und dem Abstand $r$ der Massenschwerpunkte.

Bildquelle: Dennis Nilsson, CC BY 3.0, Wikimedia

3 Satellitenbahn

Satelliten sind Körper, die sich um die Erde bewegen.

Um die Höhe $r$ über dem Erdmittelpunkt einzuhalten, muss ein Satellit eine bestimmte Geschwindigkeit $v$ besitzen. Wenn sich die Höhe nicht ändern soll, müssen Gravitationskraft und Zentrifugalkraft gleich groß sein.

Hubble-Weltraum-Teleskop Bildquelle: NASA, public domain, Wikimedia

$\displaystyle F_Z$	$=$	$\displaystyle F_{Grav}$
	↓	Formeln einsetzen
$\displaystyle \frac{m_{Sat} \cdot v^2}{r}$	$=$	$\displaystyle G \cdot \frac{m_{Sat} \cdot m_{Erde}}{r^2}$	$\displaystyle :m_{Sat}, \cdot r$
$\displaystyle v^2$	$=$	$\displaystyle G \cdot \frac{m_{Erde}}{r}$
	↓	\| Wurzel ziehen
$\displaystyle v$	$=$	$\displaystyle \sqrt{G \cdot \frac{m_{Erde}}{r}}$
	↓	(ohne negative Lösung)

Diese Gleichung nennen wir $(1)$ . Mit dieser Geschwindigkeit $v$ bleibt ein Satellit auf konstanter Höhe. Das ist schon mal eine Eigenschaft, die ein Satellit auf einer geosynchronen Bahn haben muss. Was fehlt jetzt noch?

4 Geosynchrone Umlaufbahn

Wir müssen nun die Umlaufdauer $T$ mit ins Spiel bringen. Sie spielt wie der Name geosynchron verrät, eine große Rolle.

Für die Geschwindigkeit $v$ bei einer Kreisbewegung mit dem Radius $r$ gilt:

$v= \frac{Weg}{Zeit} = \frac{Kreisumfang}{Umlaufdauer} = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T}$ $(2)$

Das ist die zweite Bedingung für die Geschwindigkeit des Satellits auf einer geosynchronen Bahn.

Wenn du Gleichung $(1)$ und $(2)$ gleichsetzt, erhälst du die Höhe $r$ eines Satelliten, der sich mit der Umlaufdauer $T$ um die Erde dreht.

$\displaystyle \sqrt{G \cdot \frac{m_{Erde}}{r}}$	$=$	$\displaystyle \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T}$
	↓	beide Seiten quadrieren
$\displaystyle G \cdot \frac{m_{Erde}}{r}$	$=$	$\displaystyle \frac{4 \cdot \pi^2 \cdot r^2}{T^2}$
	↓	\| $\cdot r$
$\displaystyle G \cdot m_{Erde}$	$=$	$\displaystyle \frac{4 \cdot \pi^2 \cdot r^3}{T^2}$
	↓	\| $:(4 \cdot \pi^2), \cdot T^2$
$\displaystyle \frac{G \cdot m_{Erde} \cdot T^2}{4 \cdot \pi^2}$	$=$	$\displaystyle r^3$
	↓	dritte Wurzel ziehen
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{\frac{G \cdot m_{Erde} \cdot T^2}{4 \cdot \pi^2}}$

Diese relativ komplizierte Formel beschreibt die Höhe $r$ über dem Erdmittelpunkt für alle Satelliten mit der Umlaufdauer $T$ .

Die dritte und letzte Bedingung für einen Satellit auf einer geosynchronen Bahn ist nun, dass die Umlaufdauer genau 1 Tag beträgt. Dann dauert der Umlauf des Satellits genau so lange wie die Umdrehungsdauer der Erde. Die Zeiten sind synchron.

Wie hoch ist denn jetzt eine geosynchrone Umlaufbahn?

5 Berechnung der Höhe

Wenn wir in die Gleichung $r = \sqrt[3]{\frac{G \cdot m_{Erde} \cdot T^2}{4 \cdot \pi^2}}$ die bekannten Größen einsetzen, erhalten wir die gesuchte Höhe.

Gravitationskonstante $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \frac {m^3}{kg \cdot s^2}$

Erdmasse $m_{Erde} = 5{,}974 \cdot 10^{24} kg$

Umlaufdauer $T=1 Tag = 1 d = 24 \cdot 60 \cdot 60 s = 86.400s$

Versuche es selbst mit deinem Taschenrechner. Dort kannst du die Einheiten natürlich weglassen.

Die geosynchrone Bahn befindet sich in einer Höhe von 42.200 km über dem Erdmittelpunkt. Da die Erde einen mittleren Radius von 6378 km hat, ergibt sich für die Höhe über der Erdoberfläche

$42.200km-6378km\approx35.800km$

Bemerkung:

Wenn man die Höhe weiß, kann man mit Gleichung $(1)$ die Geschwindigkeit eines Satellits auf der geosynchronen Bahn berechnen. Versuche es selbst.

$v=\sqrt{G \cdot \frac{m_{Erde}}{r}}$ $(1)$

Geostationäre Umlaufbahn

Die geostationäre Umlaufbahn ist ein Speziallfall der geosynchronen Umlaufbahn. Der Satellit benötigt für einen Umlauf nicht nur genau einen Tag, er befindet sich dabei auch immer über genau dem gleichen Ort auf der Erde. Dies ist natürlich nur über dem Äquator möglich (Bahnneigung 0°). In diesem Bild schaut man also von oben auf die Drehachse der Erde:

Ein geostationärer Satellit befindet sich immer über dem gleichen Punkt der Erde.

Bildquelle: Brandir, CC BY-SA 3.0, Wikimedia

Satelliten auf einer geostationären Bahn haben somit ...

1.) ... immer den gleichen Blick auf die Erde => Einsatz als Wettersatellit wie z.B. Meteosat

Bildquelle: EUMETSAT, CC BY, Wikimedia

2.) ... von der Erde aus immer die gleiche Position. => Satellitenschüsseln für's Satellitenfernsehen können immer in die gleiche Richtung zeigen.

Bildquelle: NASA, public domain, Wikimedia

Diese Computergrafik zeigt alle Satelliten um die Erde. Man sieht innen die meisten Satelliten auf einem Low Earth Orbit, aber auch sehr viele auf einer geostationären Bahn (äußere Linie) über dem Äquator.

Jetzt bist du bereit für die folgenden Aufgaben.

6 Aufgaben

Satellitengeschwindigkeit

Je niedriger ein Satellit fliegt, desto ... muss seine Geschwindigkeit sein.

Globale Navigationssysteme

Zur Positionsbestimmung wurden seit den 1990er-Jahren viele Satelliten gestartet; z.B. das GPS-System. Sie fliegen mit einer Geschwindigkeit von $4440 \frac{m}{s}$ . Berechne ihren Abstand zum Erdmittelpunkt.

Bildquelle: El pak, public domain, Wikimedia

Berechnung der Sonnenmasse

Die Erde ist eigentlich auch nichts anderes als ein „Satellit“ der Sonne.

Auch hier gilt $r=\sqrt[3]{\frac{G \cdot m_{Sonne} \cdot T^2}{4 \cdot \pi^2}}$ .

Berechne mit dieser Formel die Sonnenmasse, wenn

$G = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \frac {m^3}{kg \cdot s^2}$ und der Abstand zwischen Erde und Sonne

$r$ = 1 AE (Astronomische Einheit) $\approx$ 150 Millionen km = $1{,}50\cdot10^{11}m$ beträgt.