Wenn wir in die Gleichung $r=\sqrt[3]{\frac{G\cdot m_{Erde}\cdot T^2}{4\cdot {\pi }^2}}r\; =\; \backslash sqrt[3]\{\backslash frac\{G\; \backslash cdot\; m\_\{Erde\}\; \backslash cdot\; T^2\}\{4\; \backslash cdot\; \backslash pi^2\}\}$ die bekannten Größen einsetzen, erhalten wir die gesuchte Höhe.

Gravitationskonstante $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\frac{m^3}{kg\cdot s^2}G\; =\; 6\{,\}67\; \backslash cdot\; 10^\{-11\}\; \backslash frac\; \{m^3\}\{kg\; \backslash cdot\; s^2\}$

Erdmasse $m_{Erde}=\mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}kgm\_\{Erde\}\; =\; 5\{,\}974\; \backslash cdot\; 10^\{24\}\; kg$

Umlaufdauer $T=1Tag=1d=24\cdot 60\cdot 60s=86.400sT=1\; Tag\; =\; 1\; d\; =\; 24\; \backslash cdot\; 60\; \backslash cdot\; 60\; s\; =\; 86.400s$

Versuche es selbst mit deinem Taschenrechner. Dort kannst du die Einheiten natürlich weglassen.

Die geosynchrone Bahn befindet sich in einer Höhe von 42.200 km über dem Erdmittelpunkt. Da die Erde einen mittleren Radius von 6378 km hat, ergibt sich für die Höhe über der Erdoberfläche

$42.200km-6378km\approx 35.800km42.200km-6378km\backslash approx35.800km$

Bemerkung:

Wenn man die Höhe weiß, kann man mit Gleichung $(1)(1)$ die Geschwindigkeit eines Satellits auf der geosynchronen Bahn berechnen. Versuche es selbst.

$v=\sqrt{G\cdot \frac{m_{Erde}}{r}}v=\backslash sqrt\{G\; \backslash cdot\; \backslash frac\{m\_\{Erde\}\}\{r\}\}$ $(1)(1)$

Geostationäre Umlaufbahn

Die geostationäre Umlaufbahn ist ein Speziallfall der geosynchronen Umlaufbahn. Der Satellit benötigt für einen Umlauf nicht nur genau einen Tag, er befindet sich dabei auch immer über genau dem gleichen Ort auf der Erde. Dies ist natürlich nur über dem Äquator möglich (Bahnneigung 0°). In diesem Bild schaut man also von oben auf die Drehachse der Erde:

Ein geostationärer Satellit befindet sich immer über dem gleichen Punkt der Erde.

Bildquelle: Brandir, CC BY-SA 3.0, Wikimedia

Satelliten auf einer geostationären Bahn haben somit ...

1.) ... immer den gleichen Blick auf die Erde => Einsatz als Wettersatellit wie z.B. Meteosat

Bildquelle: EUMETSAT, CC BY, Wikimedia

2.) ... von der Erde aus immer die gleiche Position. => Satellitenschüsseln für's Satellitenfernsehen können immer in die gleiche Richtung zeigen.

Bildquelle: © Cody Logan / Wikimedia Commons / "DISH 1000+" / CC BY-SA 4.0

Bildquelle: NASA, public domain, Wikimedia

Diese Computergrafik zeigt alle Satelliten um die Erde. Man sieht innen die meisten Satelliten auf einem Low Earth Orbit, aber auch sehr viele auf einer geostationären Bahn (äußere Linie) über dem Äquator.

Jetzt bist du bereit für die folgenden Aufgaben.