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3II. Spurpunkte - eine Ebene skizzieren

Spurpunkte - eine Ebene skizzieren:

Um die zu einer Koordinatengleichung einer Ebene zugehörige Ebene einfach zu visualisieren, nutzt man, genauso wie bei Geraden, ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Diese Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen heißen Spurpunkte. So wie du eine Gerade im KoSy-zeichnen kannst, wenn du ihre beiden Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen kennst, so ist es auch bei Ebenen. Der einzige Unterschied ist: hier brauchst du drei Schnittpunkte!

Wenn du schon ahnst, wie es geht, berechne die Spurpunkte der folgenden Ebene:

Die Lösung findest du weiter unten unter Lösung. Wenn du keine Ahnung hast, wie diese Spurpunkte berechnet werden können, lies weiter.

Betrachten wir weiter unsere Ebene aus obigem Beispiel:

Hier stehen die drei Einträge x1,x2  und  x3x_1,x_2\;\text{und}\;x_3 für die drei Koordinatenachsen. Oft werden die drei Achsen statt mit x1,x2  und  x3x_1,x_2\;\text{und}\;x_3 mit x,y  und  zx, y\;\text{und}\;z bezeichnet. Dann wird die Ebene aus dem Beispiel so geschrieben:

Welche Schreibweise du vorfindest, hängt also davon ab, wie die Koordinatenachsen beschriftet werden!

Die drei Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen haben offensichtlich folgende Gestalt:

Setzen wir den ersten Punkt in die Ebenengleichung ein, so ergibt sich:

Sx  in  E:1a+20+40=4S_x\;in\;E: 1\cdot a+2\cdot 0+4\cdot 0=4

Der Schnittpunkt mit der xx-Achse ist also Sx(400)S_x(4|0|0)

Die Schnittpunkte mit den anderen beiden Achsen ermittelt man analog. Berechne die Schnittpunkte mit der yy- und zz-Achse!

Spurpunkte zum skizzieren der Ebene nutzen

Anschließend zeichnet man diese drei Punkte nun in einem 3-dimensionalen Koordinatensystem ein und verbindet sie:

Bild

Du siehst an dem Bild, dass z.B. der Punkt P(500)P(5|0|0) nicht in der Ebene liegt. Dies bestätigt sich auch durch Einsetzen des Punktes in die Koordinatenform:

(unwahre Aussage)

Dagegen kannst du im Bild sehen, dass der Punkt Q(210)Q(2|1|0) wahrscheinlich in der Ebene liegt. Auch dies bestätigt sich durch Einsetzen des Punktes in die Koordinatenform:

(wahre Aussage)

Die Ebene entsteht durch unendliche viele Punkte und jeder Punkt ist eine Lösung der Gleichung.

Der folgende Link führt dich zu einer LearningApp, bei der du das Gelernte üben kannst:

https://learningapps.org/watch?v=psjeb9bk518


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