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4III. Grundvorstellungen aufbauen

In diesem Kapitel verlagern wir den Standpunkt. Du wirst im folgenden also nicht aus der algebraischen Perspektive auf die Koordinatengleichung einer Ebene gucken, sondern aus einer räumlich-anschaulichen Perspektive von Vektoren. Im nächsten Kapitel werden dann beide Perspektiven miteinander verbunden.

 

Grundvorstellung:

Stelle dir irgendeine Ebene vor, die auf einem Stützvektor aufliegt. Der Stützvektor fixiert den 'Start' der Ebene. Aber auf diesem Stützvektor kann die Ebene in alle Richungen 'wackeln'. Nun stell dir weiter vor, du würdest senkrecht in diese Ebene einen Vektor als eine Art Griffrohr hineinschrauben. Die Ebene liegt aber immer noch auf dem Stützvektor auf. Mit dem senkrecht auf der Ebene festmontierten Vektor kannst du nun diese Ebene im Raum hin und her bewegen!

 

Aufgabe:

Baut zusammen mit einfachen Mitteln die eben beschriebene Grundvorstellung in einem Modell nach!Material:

  • einen Stift als Stützvektor

  • eine Ebene (Handy, kleines Buch …)

  • einen Stift als Führungsvektor, der senkrecht auf der Ebene steht (dieser Vektor heißt Normalenvektor)

  • ihr definiert irgendwo ein Koordinantensystem (z.B. die Tischkante)

Versucht folgende Aufgaben durch Verwendung eures Modells zu beantworten. Wenn ihr lieber eine Skizze machen wollt, geht das natürlich auch!

 

Aufgabe 1

Der Stützvektor der Ebene die Koordinaten: OA=(4/0/1)\overrightarrow{OA}= (4/0/1). Damit die Ebene nicht 'wackelt', wird sie von einem Normalenvektor fixiert. Der Normalenvektor hat die Koordinaten n=(5/0/0)\vec{n} = (5/0/0). Wie liegt die Ebene dann im Raum?

Die visualisierte Lösung der Aufgabe siehst du, wenn du ganz nach unten scrollst!

 

Aufgabe 2

Auch bei folgender Aufgabe geht es darum, dein Vorstellungsvermögen zu schulen - wie liegt diese Ebene im Raum?

Der Stützvektor ist der Gleiche wie vorhin, also: OA=(4/0/1)\overrightarrow{OA}= (4/0/1). Der Normalenvektor zeigt aber nun parallel in Richtung der z-Achse nach oben. Wie liegt die Ebene dann im Raum?

Aufgabe 3

Fertige eine Skizze der Ebene aus der letzten Aufgabe (Nr.2) an! Zeichne in die Skizze auch einen Stütz- und einen Normalenvektor ein.

 

Zusammenfassung

Diese Aufgaben hatten die Funktion, dir zu zeigen, dass die beiden Informationen:

  • wie gelange ich mit einem Stützvektor vom Ursprung aus zu meiner Ebene ('wo fängt die Ebene an')= Was sind die Koordinaten von OA\overrightarrow{OA}

  • wie genau liegt der Normalenvektor = Was sind die Koordinaten von n\overrightarrow{n}

ausreichen, um eine Ebene ganz konkret zu definieren!

 

Wenn dies so ist, muss es doch auch möglich sein, nur mit diesen beiden Informationen algebraisch eine Ebenengleichung aufzustellen!

 

Dies ist das Ziel des nächsten Kapitels…

 

Lösung Aufgabe 1

Im folgenden Applett kannst du dir die Ebene aus Aufgabe 1 anschauen. Der Stützvektor ist rot und der Normalenvektor ist schwarz.Du kannst die Ansicht drehen und zoomen.

 

Mit dem Link kannst du das Applett auch in einem eignen Tab angucken: https://ggbm.at/dnB5FjEc


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