Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

Für jeden Wert $a$ mit $a\in\mathbb{R^+}$ ist eine Funktion $f_{a}$ durch $f_a(x)=\frac1 a \cdot x^3-x$ mit $x\in\mathbb{R}$ gegeben.

a) Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von $f_{a}$ dar. Geben Sie an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründen Sie Ihre Antwort.(2 BE)

b) Für jeden Wert von $a$ besitzt der Graph von $f_{a}$ genau zwei Extrempunkte. Ermitteln Sie denjenigen Wert von $a$ , für den der Graph der Funktion $f_{a}$ an der Stelle $x = 3$ einen Extrempunkt hat. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionenschar

Teilaufgabe a)

Abbildung 2 zeigt einen Graphen aus der Funktionenschar $f_{a}$ .

Begründung:

Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion für $x\rightarrow\pm\infty$ wird bestimmt durch das Vorzeichen des Faktors beim Glied mit dem höchsten Exponenten.

Da $a\in\mathbb{R^+}$ ist $\displaystyle\frac1 a>0$ und es gilt: $\lim\limits_{x\to +\infty} f_a(x)=+\infty$ .

Alternative Begründung ohne Grenzwertbetrachtung

$f_{a} (x)$ läßt sich in Linearfaktoren zerlegen:

$\displaystyle f_a(x)= \frac 1a x ^3 - x=\frac1a \cdot x \cdot (x^2-a)=\frac1a \cdot x \cdot (x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})$

Beachte die Benutzung der 2. binomischen Formel für $x^2-a=x^2- (\sqrt{a})^2$ .

Für alle Werte $x_{0}$ mit $0<x_0<\sqrt{a}$ gilt dann wegen der Vorzeichenreihe $+ + - +$ der Linearfaktoren, dass $f_{a} (x_{0}) < 0$ .

In Worten: "Plus mal plus mal minus mal plus ist minus".

Abbildung 2 ist also passend.

Teilaufgabe b)

Notwendige Bedingung, dass $x = 3$ ein Extremum ergibt: $\quad f_{a}'(3)=0$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {lcll} &&&\text{Differenziere}\,f_{a}(x)\\ f_{a}'(x) &= &\displaystyle \frac{3}{a}x^2-1 &\text{Setze für}\; {\color{red}x}\;\text{den Wert 3 ein.}\\f_{a}'(3)&=&\displaystyle \frac{27}{a}-1&\text{Setze}\;\;f_{a}'(3)=0 \\\displaystyle \frac{27}{a}-1&=&0&|\cdot a\;\;\text{(Gleichung für a!)}\\27-a&=&0\\\quad \quad a&=&27\end{array}$

Nachweis, dass $a = 27$ für $x = 3$ tatsächlich ein lokales Extremum ergibt:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {lcll}& & & \text{Differenziere}\, f_{a}'(x) \\f_{a}''(x) &= &\displaystyle\frac{6}{a}\cdot x &\text {Setze}\;{\color{red}a}=27 \;\text{ein}\\f_{27}''(x)&=&\displaystyle \frac{6}{27} \cdot x&\text{Setze}\;x=3\\f_{27}''(3)& = &\frac{2}{3}\, > \,0&\Rightarrow\;\text{x = 3 ergibt für} \,f_{27}\, \text {ein lokales Minimum} \end{array}$

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