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Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Geben Sie für die Funktionen f1_1 und f2_2 jeweils die maximale Definitionsmenge und die Nullstelle an.

    f1:x2x+3x24\displaystyle\quad f_1:x \mapsto \frac{2x+3}{x^2-4} f2:xln(x+2)\quad\quad f_2:x\mapsto\ln(x+2)

    (4 BE)

  2. 2

    Geben Sie den Term einer in R\mathbb{R} definierten Funktion an, deren Graph im Punkt (21)(2|1) eine waagrechte Tangente, aber keinen Extrempunkt hat.

    (3 BE)

  3. 3

    Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=x3+9x215x25f(x)=-x^3+9x^2-15x-25.

    Weisen Sie nach, dass ff folgende Eigenschaften besitzt:

    (1) Der Graph von ff besitzt an der Stelle x =0 die Steigung -15.

    (2) Der Graph von ff besitzt im Punkt A(5f(5))A(5|f(5)) die x-Achse als Tangente.

    (3) Die Tangente tt an den Graphen der Funktion ff im Punkt B(1f(1))B(-1|f(-1)) kann durch die Gleichung y=36x36y=-36x-36 beschrieben werden.

    (5 BE)

  4. 4
    Analysis A-1-4

    Die Abbildung zeigt den Graphen GfG_f einer in R\mathbb{R} definierten Funktion ff mit dem Wendepunkt W(14)W(1|4).

    Ermitteln Sie mit Hilfe der Abbildung näherungsweise den Wert der Ableitung von ff an der Stelle x=1x=1.

    Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion ff' von ff in die Abbildung; berücksichtigen Sie dabei insbesondere die Lage der Nullstellen von ff' sowie den für f(1)f'(1) ermittelten Näherungswert.

    (3 BE)

  5. 5

    Für jeden Wert aa mit aR+a\in\mathbb{R^+} ist eine Funktion faf_a durch fa(x)=1ax3xf_a(x)=\frac1 a \cdot x^3-x mit xRx\in\mathbb{R} gegeben.

    a) Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von faf_a dar. Geben Sie an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründen Sie Ihre Antwort.(2 BE)

    Analysis A 1-5

    b) Für jeden Wert von aa besitzt der Graph von faf_a genau zwei Extrempunkte. Ermitteln Sie denjenigen Wert von aa, für den der Graph der Funktion faf_a an der Stelle x=3x=3 einen Extrempunkt hat. (3 BE)


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