Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 1

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

Geben Sie den Term einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion an, deren Graph im Punkt $(2|1)$ eine waagrechte Tangente, aber keinen Extrempunkt hat.

(3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Terrassenpunkte

Für die Funktion $f_0: y = x^3;\;\mathbb{D}= \mathbb{R}$ ist der Koordinatenursprung $(0|0)$ Terrassenpunkt.

Die Verschiebung des Graphen von $f_0$ um 2 LE nach rechts und 1 LE nach oben erzeugt eine der gesuchten Funktionen:

$f:y =(x-2)^3+1;\;\mathbb{D}=\mathbb{R}$

Alternative Lösung

Kennst du keine Funktion mit einem Terrassenpunkt, dann überlegst du so:

Damit der Punkt $(2|1)$ Terrassenpunkt einer zu bestimmenden Funktion $f$ wird, muss die 1. Ableitung $\;f'$ für $x=2$ eine doppelte Nullstelle (allgemeiner eine gerade Nullstelle) besitzen. Ansatz:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} f'(x)&=&(x-2)^2&\quad|\;\text{integrieren}\\ \Rightarrow f(x)&=&\frac{1}{3}(x-2)^3+c \end{array}

$(2|1)$ in $f$ eingesetzt ergibt:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll} f'(x)&=&(x-2)^2&\quad|\;\text{integrieren}\\ \Rightarrow f(x)&=&\frac{1}{3}(x-2)^3+c \end{array}

Also ist $f(x)=\frac{1}{3}(x-2)^3+1$ eine zweite, auf anderem Wege gefundene Lösung der Aufgabe.

Weitere Lösungen wären z.B. über folgende Ansätze für $f'$ möglich:

$f'(x)=a\cdot(x-2)^2,\; a\neq0$ oder auch $f'(x)=(x+1)(x-2)^2$

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Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.

In einem vorgegebenen Punkt sind beliebig viele Funktionen denkbar, für die dieser Terrassenpunkt ist.

Eine naheliegende Lösungsstrategie ist die Betrachtung einer bekannten Funktion mit beliebigem Terrassenpunkt und anschließende Verschiebung dieses Punktes in den Punkt $(2|1)$ .