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Äquivalente Gleichungen

Gleichungen sind äquivalent (=gleichwertig) zueinander, wenn sie die gleiche Lösungsmenge besitzen. Häufig kann durch Umformen zu einer äquivalenten Gleichung (Äquivalenzumformungen) die Lösungsmenge ermittelt werden.

Beispiele für äquivalente Gleichungen

  • x+2=3x+2=3 und x = 1x\ =\ 1 besitzen beide die Lösungsmenge L={1}L=\left\{1\right\} und sind deshalb äquivalent.

  • 5=35=3 und x2=1x^2=-1 haben über der Grundmenge G=QG=\mathbb Q beide keine Lösung (L={}L=\left\{\right\}) und sind deshalb äquivalent.

  • x2=0x-2=0 mit der Lösungsmenge L={2}L=\left\{2\right\} und (x+2)(x2)=0\left(x+2\right)\left(x-2\right)=0 mit der Lösungsmenge L={2;2}L=\left\{-2;2\right\} sind nicht äquivalent, da die Lösungsmengen nicht identisch sind, sondern lediglich ein Element gemeinsam haben.

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