Die Varianz ist in der Stochastik ein Maß dafür, wie stark eine Zufallsvariable X von ihrem Erwartungswert   $E\left(x\right)$ abweicht.

Sie ist definiert als der Erwartungswert der quadratischen Abweichung vom Erwartungswert $\mu =E(X)$ :

$V(X)=E((X-\mu {)}^2)$

Für diskrete Zufallsvariablen ist der Erwartungswert als Summe definiert, deswegen erhalten wir auch die Form

$V(X)=P(X_1)\cdot (X_1-\mu {)}^2+P(X_2)\cdot (X_2-\mu {)}^2+\dots +P(X_n)\cdot (X_n-\mu {)}^2$

Beispiel

Man zieht aus einer Urne, in der 3 rote und 5 blaue Kugeln sind, nacheinander 3 Kugeln ohne Zurücklegen. Ist eine der Kugeln rot, erhält man eine Münze, bei zwei roten Kugeln zwei Münzen und zieht man nur rote Kugeln drei Münzen.

Gewinn $x_i$ keine Münze 1 Münze 2 Münzen 3 Münzen

[Wahrscheinlichkeit](/1753) $P(X=x_i)$ $\frac{5}{28}$ $\frac{15}{28}$ $\frac{15}{56}$ $\frac{1}{56}$

$E\left(X\right)=0\cdot \frac{5}{28}+1\cdot \frac{15}{28}+2\cdot \frac{15}{56}+3\cdot \frac{1}{56}=\mathrm{1,125}$

Zunächst Erwartungswert berechnen

$\Rightarrow V\left(0\right)={(0-\mathrm{1,125})}^2\cdot \frac{5}{28}\approx \mathrm{0,226}$

Die Einzelvarianzen lassen sich mit der Formel  $V(X_i)=(X_i-Ex{)}^2\cdot P(X=x_i)$ berechnen.

Hierbei ist $x_i$ der Gewinn, $Ex$ der errechnete Erwartungswert und P die dem Gewinn entsprechende Wahrscheinlichkeit.

$V\left(X\right)=V\left(0\right)+V\left(1\right)+V\left(2\right)+V\left(3\right)$

Varianz durch Addition der Einzelvarianzen berechnen

$\begin{array}{ccccc}V\left(X\right)=& (0-\mathrm{1,125}{)}^2\cdot \frac{5}{28}& +{(1-\mathrm{1,125})}^2\cdot \frac{15}{28}& +{(2-\mathrm{1,125})}^2\cdot \frac{15}{56}& +{(3-\mathrm{1,125})}^2\cdot \frac{1}{56}\end{array}$

$\begin{array}{ccccc}V\left(X\right)=& \mathrm{0,226}\stackrel{}{}& +\mathrm{0,00837}& +\mathrm{0,205}& +\mathrm{0,0338}\end{array}$

$\begin{array}{cc}V\left(X\right)=& \mathrm{0,473}\stackrel{}{}\end{array}$

/// Beispielaufgabe

Es wird eine Münze geworfen. Kopf sei 1 und Zahl sei 0. Bestimme die Varianz der Zufallsgröße X=Wurfergebnis.

$\begin{array}{l}\mathrm{E}\left(\mathrm{X}\right)=0\cdot \mathrm{P}(\mathrm{X}=0)+1\cdot \mathrm{P}(\mathrm{X}=1)=\mathrm{0,5}\\ \mathrm{V}\left(\mathrm{X}\right)=\mathrm{P}(\mathrm{X}=1)\cdot {(1-\mathrm{0,5})}^2+\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)\cdot {(0-\mathrm{0,5})}^2=2\cdot {\mathrm{0,5}}^3=\mathrm{0,25}\end{array}$

///

Wichtige Varianzen

Bernoulli-Verteilung

$\mathrm{V}(\mathrm{X})=\mathrm{p}\cdot (1-\mathrm{p})$

Binomialverteilung

$\mathrm{V}(\mathrm{X})=\mathrm{n}\cdot \mathrm{p}\cdot (1-\mathrm{p})$

Normalverteilung

Die Normalverteilung wird immer mit der Varianz angegeben.

Ist X also normalverteilt mit Parametern  $\mathrm{\mu }$ und ${\mathrm{\sigma }}^2$ , dann ist die Varianz ${\mathrm{\sigma }}^2$ .

$\mathrm{X}\sim \mathrm{N}(\mathrm{\mu },{\mathrm{\sigma }}^2)\Rightarrow \mathrm{V}(\mathrm{x})={\mathrm{\sigma }}^2$

Rechenregeln

Lineare Transformation

\style{font-size:14px}{\mathrm V\left(\mathrm{aX}+\mathrm b\right)=\mathrm a^2\cdot\mathrm V\left(\mathrm X\right)\;;\;\;\;\mathrm a,\mathrm b\;\in\mathbb{R}} ParseError: Function "\style" is not trusted at position 1: \̲s̲t̲y̲l̲e̲{font-size:14px…

Varianz einer Summe von n unabhängigen Zufallsvariablen

\style{font-size:14px}{\mathrm V\left({\textstyle\sum_{\mathrm i=1}^\mathrm n}{\mathrm X}_\mathrm i\right)={\textstyle\sum_{\mathrm i=1}^\mathrm n}\mathrm V\left({\mathrm X}_\mathrm i\right)} ParseError: Function "\style" is not trusted at position 1: \̲s̲t̲y̲l̲e̲{font-size:14px…

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