6Die Extensionalität von Mengen

Die Identität einer Menge manifestiert sich allein dadurch, welche Objekte sie enthält. Zwei Mengen sind nämlich genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente besitzen. Diese beiden Mengen sind dann ein- und dasselbe Objekt. So gibt es beispielsweise nur eine Menge, welche genau die Zahlen $1$ und $2$ enthält. Mehrere Mengen mit denselben Elementen kann es nicht geben.

Wenn es auch nur ein Objekt gibt, welches Element der einen Menge, aber nicht der anderen ist, dann sind beide Mengen verschieden. Diese Eigenschaft von Mengen wird Extensionalitätsprinzip oder auch Extensionalitätsaxiom genannt. Sie lässt sich wie folgt formalisieren:

Übersetzt bedeutet obige Formel:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c}\underbrace {A=B} _{A{\text{ ist identisch zu }}B}\\[2em]\underbrace {:\iff } _{\text{ nach Definition genau dann, wenn }}\\[2em]\underbrace {\forall x:(x\in A\iff x\in B)} _{{\text{für alle }}x{\text{ gilt: }}x{\text{ ist genau dann Element von }}A{\text{, wenn es Element von }}B{\text{ ist und umgekehrt.}}}\end{array}$

Würden wir Mengen, die über unterschiedliche Eigenschaften definiert sind, als unterschiedlich betrachten (eine solche Mengenlehre wäre intensional), wäre sie für die Mathematik nicht brauchbar. Wie aber aus dem obigen Extensionalitätsprinzip hervorgeht, ist es für die Identität einer Menge egal, wie sie gebildet wurde. Es ist nur wichtig zu wissen, welche Elemente sie umfasst.

Die Extensionalität von Mengen (Video vom Podcast The Wicked Mu)