6Die Extensionalität von Mengen
Die Identität einer Menge manifestiert sich allein dadurch, welche Objekte sie enthält. Zwei Mengen sind nämlich genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente besitzen. Diese beiden Mengen sind dann ein- und dasselbe Objekt. So gibt es beispielsweise nur eine Menge, welche genau die Zahlen und enthält. Mehrere Mengen mit denselben Elementen kann es nicht geben.
Wenn es auch nur ein Objekt gibt, welches Element der einen Menge, aber nicht der anderen ist, dann sind beide Mengen verschieden. Diese Eigenschaft von Mengen wird Extensionalitätsprinzip oder auch Extensionalitätsaxiom genannt. Sie lässt sich wie folgt formalisieren:
Für zwei beliebige Mengen und gilt:
Übersetzt bedeutet obige Formel:
Würden wir Mengen, die über unterschiedliche Eigenschaften definiert sind, als unterschiedlich betrachten (eine solche Mengenlehre wäre intensional), wäre sie für die Mathematik nicht brauchbar. Wie aber aus dem obigen Extensionalitätsprinzip hervorgeht, ist es für die Identität einer Menge egal, wie sie gebildet wurde. Es ist nur wichtig zu wissen, welche Elemente sie umfasst.
In unserer Mengenlehre ist die Menge aller Lösungen der Gleichung identisch mit der Menge aller Lösungen der Gleichung . Dies ist die Menge bestehend aus den Zahlen und . In einer intensionalen Mengenlehre wäre dies nicht zwangsläufig der Fall, da beide Mengen durch unterschiedliche Eigenschaften definiert sind.
Die Extensionalität von Mengen (Video vom Podcast The Wicked Mu)
