7Wozu braucht man Mengen in der Mathematik?

Mengen werden dir in allen Teilgebieten der Mathematik begegnen. Sie sind ein praktisches Hilfsmittel und mit ihnen können komplexe Sachverhalte kurz und prägnant ausgedrückt werden. Auch können mit Mengen neue Objekte konstruiert oder Konzepte modelliert werden. Beispielsweise nutzt die Topologie Mengen, um Nachbarschaftsbeziehungen auszudrücken und auch die in der Algebra studierten Strukturen wie Gruppen oder Körper werden als Mengen definiert.

Daneben ist die Mengenlehre selbst ein etabliertes Teilgebiet der Mathematik. Hier haben Mathematiker gezeigt, dass alle wesentlichen Konzepte der Mathematik allein mit Mengen modelliert werden können. Trotz des simplen Charakters ist der Mengenbegriff also sehr mächtig. So kann beispielsweise jede Zahl als ein komplexes Mengengebilde dargestellt werden[3]. Über die Mengenlehre können so Grundfragen der Mathematik beantwortet werden (eben weil man sich auf den Standpunkt stellen kann, alles in der Mathematik sei Menge)[4]. Beispielsweise besitzt die Mengenlehre Mittel, um für eine Aussage zu beweisen, dass sie innerhalb eines gegebenen Axiomensystems weder beweisbar noch widerlegbar ist[5].

Wenn man sich die Einfachheit und die Bedeutung der Mengenlehre vor Augen hält, dann wundert es schon ein wenig, dass die Mengenlehre eine für die Mathematik recht junge Theorie ist.