3Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation

Analog können wir uns überlegen, dass eine Abbildung $f:V\to W$ genau dann verträglich mit der skalaren Multiplikation, wenn diese durch die Abbildung erhalten bleibt. Es sollte also für alle $w,v\in V$ und für alle Skalare $\lambda \in K$ gelten:

$w=\lambda \cdot _{_{V}}v\implies f(w)=\lambda \cdot _{_{W}}f(v)$

Beachte, dass $\lambda$ ein Skalar und kein Vektor ist und damit nicht durch die betrachtete Funktion veändert wird. Damit wir in der obigen Implikation denselben Skalar verwenden können, müssen beide Vektorräume denselben zugrundeliegenden Körper haben. Sowohl der Definitionsbereich $V$ als auch der Wertebereich $W$ muss ein $K$-Vektorraum sein.

Lineare Abbildungen erhalten also Skalierungen. Aus $w=\lambda v$ folgt $f(w)=\lambda f(v)$. Für den Fall, dass $f(v)\neq 0$ ist, werden Geraden der Form $\{\lambda v:\lambda \in \mathbb {R} \}$ auf die Gerade $\displaystyle \{\lambda f(v):\lambda \in \mathbb {R} \}$ abgebildet. Obige Implikation kann in eine Gleichung zusammengefasst werden. Es soll also für alle $v\in V$ und $\lambda \in K$ gelten:

$f(\lambda \cdot _{_{V}}v)=\lambda \cdot _{_{W}}f(v)$

Für Abbildungen $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ bedeutet dies, dass ein skalierter Vektoren $\lambda \cdot _{_{V}}v$ auf die entsprechende Skalierung $\lambda \cdot _{_{W}}f(w)$ des Bildvektors abgebildet wird:

Wenn eine Abbildung nicht verträglich zur skalaren Multiplikation ist, so gibt es einen Vektor $v$ und einen Skalierungsfaktor $\lambda$ , so dass $f(\lambda \cdot _{_{V}}v)\neq \lambda \cdot _{_{W}}f(w)$ ist: