8Drehungen

Im Folgenden betrachten wir eine Drehung $D_{\alpha }D\_\backslash alpha$ der Ebene um den Winkel $\alpha \backslash alpha$ (gegen den Uhrzeigersinn gemessen) mit dem Ursprung als Drehzentrum. Es handelt sich dabei also um eine Abbildung $D_{\alpha }:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^{2}D\_\backslash alpha:\backslash R^2\backslash to\backslash R^2$, die jedem Vektor $v\in {\mathbb{R}}^{2}v\backslash in\backslash R^2$ den um den Winkel $\alpha \backslash alpha$ gedrehten Vektor $D_{\alpha }(v)\in {\mathbb{R}}^{2}D\_\backslash alpha(v)\backslash in\backslash R^2$ zuordnet:

Wir wollen uns jetzt davon überzeugen, dass $D_{\alpha }D\_\backslash alpha$ eine lineare Abbildun ist. Dazu müssen wir zeigen:

1. $D_{\alpha }D\_\backslash alpha$ ist additiv: Für alle $v,w\in {\mathbb{R}}^{2}v,w\backslash in\backslash R^2$ ist $D_{\alpha }(v+w)=D_{\alpha }(v)+D_{\alpha }(w)D\_\backslash alpha(v+w)=D\_\backslash alpha(v)+D\_\backslash alpha(w)$.

2. $D_{\alpha }D\_\backslash alpha$ ist homogen: Für alle $v\in {\mathbb{R}}^{2}v\backslash in\backslash R^2$ und $\lambda \in \mathbb{R}\backslash lambda\backslash in\backslash R$ ist $D_{\alpha }(\lambda \cdot v)=\lambda \cdot D_{\alpha }(v)D\_\backslash alpha(\backslash lambda\backslash cdot\; v)=\backslash lambda\backslash cdot\; D\_\backslash alpha(v)$.

Überprüfen wir zunächst die Additivität, also die Gleichung $D_{\alpha }(v+w)=D_{\alpha }(v)+D_{\alpha }(w)D\_\backslash alpha(v+w)=D\_\backslash alpha(v)+D\_\backslash alpha(w)$. Addieren wir zwei Vektoren $v,w\in {\mathbb{R}}^{2}v,w\backslash in\backslash R^2$ zuerst und drehen ihre Summe v+w anschließend um den Winkel $\alpha \backslash alpha$, so soll derselbe Vektor herauskommen, wie wenn wir erst die Vektoren um den Winkel $\alpha \backslash alpha$ drehen und im Anschluss die gedrehten Vektoren $D_{\alpha }(v)D\_\backslash alpha(v)$ und $D_{\alpha }(w)D\_\backslash alpha(w)$ addieren. Dies machen wir uns an folgenden beiden Videos klar:

Kommen wir nun zur Homogenität: $D_{\alpha }(\lambda \cdot v)=\lambda \cdot D_{\alpha }(v)D\_\backslash alpha(\backslash lambda\backslash cdot\; v)=\backslash lambda\backslash cdot\; D\_\backslash alpha(v)$. Strecken wir zunächst einen Vektor $v\in {\mathbb{R}}^{2}v\backslash in\backslash R^2$ um einen Faktor $\lambda \in \mathbb{R}\backslash lambda\backslash in\backslash R$ und drehen das Resultat $\lambda \cdot v\backslash lambda\backslash cdot\; v$ danach um den Winkel $\alpha \backslash alpha$, so soll derselbe Vektor herauskommen, wie wenn wir als Erstes die Drehung um den Winkel $\alpha \backslash alpha$ durchführen und daraufhin das Ergebnis $D_{\alpha }(v)D\_\backslash alpha(v)$ um den Faktor $\lambda \backslash lambda$ skalieren. Auch dies wird durch zwei Videos ersichtlich:

Somit handelt es sich bei Drehungen im ${\mathbb{R}}^2\backslash R^2$ um lineare Abbildungen.