2Definition

Seien $\color {Orange}V$ und $\color {Purple}W$ Vektorräume über demselben Körper $K$. Dabei seien ${\color {Orange}+_{{}_{V}}}\colon {\color {Orange}V}\times {\color {Orange}V}\to {\color {Orange}V}$ und ${\color {Purple}+_{{}_{W}}}\colon {\color {Purple}W}\times {\color {Purple}W}\to {\color {Purple}W}$ die jeweiligen inneren Verknüpfungen. Weiter seien ${\color {Orange}\cdot _{{}_{V}}}\colon K\times {\color {Orange}V}\to {\color {Orange}V}$ und ${\color {Purple}\cdot _{{}_{W}}}\colon K\times {\color {Purple}W}\to {\color {Purple}W}$ die skalaren Multiplikationen.

Nun sei $f\colon {\color {Orange}V}\to {\color {Purple}W}$ eine Abbildung zwischen diesen Vektorräumen. Wir nennen $f$ eine lineare Abbildung von ${\color {Orange}V}$ nach ${\color {Purple}W}$, wenn die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind:

1. Additivität: Für alle $v_{1},v_{2}\in V$ gilt, dass $f\left(v_1 {\color{Orange} +_{{}_V} } v_2\right)=f(v_1) {\color{Purple} +_{{}_W}} f(v_2)$

2. Homogenität: Für alle $v\in V$ und $\lambda \in K$ gilt, dass $f(\lambda {\color{Orange} \cdot_{{}_V}} v) = \lambda {\color{Purple} \cdot_{{}_W}} f(v)$

Wenn es aus dem Kontext klar ist, schreiben wir zukünftig auch einfach „$+$“ anstatt ${\color{Orange} +_{{}_V} }$ und ${\color{Purple} +_{{}_W}}$. Ebenso wird häufig „$\cdot$“ anstelle von ${\color{Orange} \cdot_{{}_V}}$ und ${\color{Purple} \cdot_{{}_W}}$ verwendet. Manchmal wird der Punkt für die skalare Multiplikation auch ganz weggelassen.