Definition – Lineare Abbildungen

DefinitionLineare Abbildung

Seien $\color {Orange}V$ und $\color {Purple}W$ Vektorräume über demselben Körper $K$ . Dabei seien ${\color {Orange}+_{{}_{V}}}\colon {\color {Orange}V}\times {\color {Orange}V}\to {\color {Orange}V}$ und ${\color {Purple}+_{{}_{W}}}\colon {\color {Purple}W}\times {\color {Purple}W}\to {\color {Purple}W}$ die jeweiligen inneren Verknüpfungen. Weiter seien ${\color {Orange}\cdot _{{}_{V}}}\colon K\times {\color {Orange}V}\to {\color {Orange}V}$ und ${\color {Purple}\cdot _{{}_{W}}}\colon K\times {\color {Purple}W}\to {\color {Purple}W}$ die skalaren Multiplikationen.

Nun sei $f\colon {\color {Orange}V}\to {\color {Purple}W}$ eine Abbildung zwischen diesen Vektorräumen. Wir nennen $f$ eine lineare Abbildung von ${\color {Orange}V}$ nach ${\color {Purple}W}$ , wenn die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind:

Additivität: Für alle $v_{1},v_{2}\in V$ gilt, dass $f\left(v_1 {\color{Orange} +_{{}_V} } v_2\right)=f(v_1) {\color{Purple} +_{{}_W}} f(v_2)$
Homogenität: Für alle $v\in V$ und $\lambda \in K$ gilt, dass $f(\lambda {\color{Orange} \cdot_{{}_V}} v) = \lambda {\color{Purple} \cdot_{{}_W}} f(v)$

Beachte

Wenn es aus dem Kontext klar ist, schreiben wir zukünftig auch einfach „ $+$ “ anstatt ${\color{Orange} +_{{}_V} }$ und ${\color{Purple} +_{{}_W}}$ . Ebenso wird häufig „ $\cdot$ “ anstelle von ${\color{Orange} \cdot_{{}_V}}$ und ${\color{Purple} \cdot_{{}_W}}$ verwendet. Manchmal wird der Punkt für die skalare Multiplikation auch ganz weggelassen.

Hinweis

In der Literatur wird für den Begriff ''lineare Abbildung'' auch der Begriff ''Vektorraumhomomorphismus'' oder kurz ''Homomorphismus'' genutzt. Das altgriechische Wort homós steht für „gleich“, morphé steht für „Form“. Wörtlich übersetzt ist ein ''Vektorraumhomomorphismus'' also eine Abbildung zwischen Vektorräumen, welche die „Form“ der Vektorräume gleich lässt.

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