Beweisschritt:
(âv1â,âŠ,vnââVâλ1â,âŠ,λnââK:f(i=1ânâλiââ
Vââviâ)=i=1ânâλiââ
Wââf(viâ))âčf ist eine lineare Abbildung.
Seien v,v1â,v2ââV und λâK. Die beiden Terme v1â+v2â und λâ
v sind zwei Linearkombinationen in V. Wenn wir diese in die Formel f(âi=1nâλiââ
Vââviâ)=âi=1nâλiââ
Wââf(viâ) einsetzen, so erhalten wir
f(v1â+v2â)f(λâ
v)â=f(v1â)+f(v2â)=λâ
f(w)â
Damit erfĂŒllt f die Definition einer linearen Abbildung.
Beweisschritt:
f ist eine lineare Abbildungâč(âv1â,âŠ,vnââVâλ1â,âŠ,λnââK:f(i=1ânâλiââ
Vââviâ)=i=1ânâλiââ
Wââf(viâ))
Sei f eine lineare Abbildung. Wir beweisen die Gleichung mit vollstĂ€ndiger Induktion ĂŒber n:
Aussageform, deren AllgemeingĂŒltigkeit fĂŒr nâN bewiesen werden soll:
âv1â,âŠ,vnââVâλ1â,âŠ,λnââK:f(i=1ânâλiââ
Vââviâ)=i=1ânâλiââ
Wââf(viâ)
1. Induktionsanfang:
Wir fangen die Induktion bei n=1 an und stellen fest, dass hierfĂŒr die Eigenschaft der HomogenitĂ€t ausreicht:
=âf(λ1ââ
Vââv1â)â Homogenitašt von fλ1ââ
Wââf(v1â)â
2. Induktionsschritt:
2a. Induktionsvoraussetzung:
âv1â,âŠ,vnââVâλ1â,âŠ,λnââK:f(i=1ânâλiââ
Vââviâ)=i=1ânâλiââ
Wââf(viâ)
2b. Induktionsbehauptung:
âv1â,âŠ,vnâ,vn+1ââVâλ1â,âŠ,λnâ,λn+1ââK:f(i=1ân+1âλiââ
Vââviâ)=i=1ân+1âλiââ
Wââf(viâ)
2c. Beweis des Induktionsschritts:
Seien v1â,âŠ,vn+1ââV und λ1â,âŠ,λn+1ââK. Dann
=====âf(âi=1n+1âλiââ
Vââviâ)â Summe aufteilenf((âi=1nâλiââ
Vââviâ)+Vââ(λn+1ââ
Vââvn+1â))â Additivitašt von ff(âi=1nâλiââ
Vââviâ)+Wââf(λn+1ââ
Vââvn+1â)â Homogenitašt von ff(âi=1nâλiââ
Vââviâ)+Wââ(λn+1ââ
Wââf(vn+1â))â Induktionsannahme(âi=1nâλiââ
Wââf(viâ))+Wââ(λn+1ââ
Wââf(vn+1â))â Summe zusammenfassenâi=1n+1âλiââ
Wââf(viâ)â