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Lineare Abbildungen

4Charakterisierung: Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet

Neben der definierenden Eigenschaft, dass lineare Abbildungen sich gut mit der zugrundeliegenden Vektorraumstruktur vertragen, können lineare Abbildungen auch ĂŒber folgende Eigenschaft charakterisiert werden:

Lineare Abbildungen sind genau die Abbildungen, die Linearkombinationen auf Linearkombinationen abbilden.

Dies ist eine wichtige Eigenschaft, weil ĂŒber Linearkombinationen wichtige Struktureigenschaften von Vektoren wie die lineare UnabhĂ€ngigkeit oder das Erzeugendensystemen definiert werden. Auch die Definition der Basis grĂŒndet sich auf den Begriff der Linearkombination. Den Zusammenhang zu den Linearkombinationen erkennt man, wenn man sich die beiden charakteristischen Gleichungen linearer Abbildungen anschaut:

f(v1+v2)=f(v1)+f(v2)f(λ⋅v)=λ⋅f(v)\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl} f(v_1 + v_2) &= f(v_1) + f(v_2)\\ f(\lambda \cdot v) &= \lambda \cdot f(v) \end{array}

Wir können auf eine Linearkombination wie 3⋅u+5⋅w−2⋅z3\cdot u+5\cdot w-2\cdot z fĂŒr Vektoren u,wu,w und zz aus VV die beiden obigen Formeln schrittweise anwenden. So können wir diese Linearkombination aus der Funktion schrittweise „herausziehen“:

f(3⋅u+5⋅w−2⋅z)↓ Additivitašt von f=f(3⋅u)+f(5⋅w−2⋅z)↓ Additivitašt von f=f(3⋅u)+f(5⋅w)+f(−2⋅z)↓ Homogenitašt von f=3⋅f(u)+5⋅f(w)−2⋅f(z)\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl} & f(3\cdot u + 5\cdot w -2 \cdot z) \\[0.3em] & {\color{208000}\left\downarrow\ \text{AdditivitĂ€t von } f \right.} \\[0.3em] = & f(3\cdot u) + f(5\cdot w -2 \cdot z) \\[0.3em] & {\color{208000}\left\downarrow\ \text{AdditivitĂ€t von } f \right.} \\[0.3em] = & f(3\cdot u) + f(5\cdot w) + f(-2 \cdot z) \\[0.3em] & {\color{208000}\left\downarrow\ \text{HomogenitĂ€t von } f \right.} \\[0.3em] = & 3\cdot f(u) + 5\cdot f(w) -2 \cdot f(z) \end{array}

Die Linearkombination 3⋅u+5⋅w−2⋅z3\cdot u+5\cdot w-2\cdot z wird durch ff auf 3⋅f(u)+5⋅f(w)−2⋅f(z)3\cdot f(u)+5\cdot f(w)-2\cdot f(z) abgebildet und bleibt damit in ihrer Struktur erhalten. Ähnlich verhĂ€lt es sich bei anderen Linearkombinationen. Denn durch die Eigenschaft f(v1+v2)=f(v1)+f(v2)f(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+f(v_{2}) sind Summen und durch die Eigenschaft f(λ⋅v)=λ⋅f(v)f(\lambda \cdot v)=\lambda \cdot f(v) sind skalare Multiplikationen herausziehbar. Wir erhalten damit folgende alternative Charakterisierung der linearen Abbildung:

Satz

Eine Abbildung f:V→Wf:V\to W zwischen zwei KK-VektorrĂ€umen VV und WW ist genau dann eine lineare Abbildung, wenn sie Linearkombinationen erhĂ€lt. Sprich: Jede lineare Abbildung bildet die Linearkombination von Elementen auf die Linearkombination von den Bildern der Elemente ab. Formal bedeutet das, dass fĂŒr endlich viele v1,
,vn∈Vv_{1},\dots ,v_{n}\in V und λ1,
,λn∈K\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\in K gilt:

f(∑i=1nλi⋅Vvi)=∑i=1nλi⋅Wf(vi)\displaystyle f \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) =\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right)
Vorgehen

Wir wollen zeigen, dass fĂŒr alle vi∈Vv_{i}\in V und λi∈K\lambda _{i}\in K gilt:

f(∑i=1nλi⋅Vvi)=∑i=1nλi⋅Wf(vi)  âŸș  f ist eine lineare Abbildung.\displaystyle f{\bigg (}\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{V}v_{i}{\bigg )}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{W}f(v_{i})\iff f\text{ ist eine lineare Abbildung.}

Wir wissen aus der Definition der linearen Abbildung, dass fĂŒr diese die Eigenschaften der AdditivitĂ€t und HomogenitĂ€t gelten, welche wir uns zu Nutze machen.

FĂŒr die Richtung von links nach rechts des Beweises wĂ€hlen wir 2 Linearkombinationen so, dass wir durch Einsetzen in die obige Formel die zwei Eigenschaften erhalten.

FĂŒr die RĂŒckrichtung wissen wir, dass ff eine lineare Abbildung ist. Wir können durch vollstĂ€ndige Induktion zeigen, dass obige Formel fĂŒr alle Elemente gilt. Dabei reduzieren wir die Linearkombination auf einzelne Additionen und Skalarmultiplikationen, auf die wir die AdditivitĂ€t und HomogenitĂ€t anwenden können.

Beweis

Beweisschritt:

(∀v1,
,vn∈V ∀λ1,
,λn∈K: f(∑i=1nλi⋅Vvi)=∑i=1nλi⋅Wf(vi))  âŸč  f ist eine lineare Abbildung.\displaystyle \left(\forall v_1,\dots,v_n \in V\,\forall\lambda_1,\dots,\lambda_n \in K:\,f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) =\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right)\right)\\\implies f\text{ ist eine lineare Abbildung.}

Seien v,v1,v2∈Vv,v_{1},v_{2}\in V und λ∈K\lambda \in K. Die beiden Terme v1+v2v_{1}+v_{2} und λ⋅v\lambda \cdot v sind zwei Linearkombinationen in VV. Wenn wir diese in die Formel f(∑i=1nλi⋅Vvi)=∑i=1nλi⋅Wf(vi)f \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) =\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right) einsetzen, so erhalten wir

f(v1+v2)=f(v1)+f(v2)f(λ⋅v)=λ⋅f(w)\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl} f(v_1 + v_2) & = f(v_1) + f(v_2) \\[0.5em] f(\lambda \cdot v) & = \lambda \cdot f(w) \end{array}

Damit erfĂŒllt ff die Definition einer linearen Abbildung.

Beweisschritt:

f ist eine lineare Abbildung  âŸč  (∀v1,
,vn∈V ∀λ1,
,λn∈K: f(∑i=1nλi⋅Vvi)=∑i=1nλi⋅Wf(vi))\displaystyle f\text{ ist eine lineare Abbildung}\implies\\ \left(\forall v_1,\dots,v_n \in V\,\forall\lambda_1,\dots,\lambda_n \in K:\,f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) =\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right)\right)

Sei ff eine lineare Abbildung. Wir beweisen die Gleichung mit vollstĂ€ndiger Induktion ĂŒber nn:

Aussageform, deren AllgemeingĂŒltigkeit fĂŒr n∈Nn\in \mathbb {N} bewiesen werden soll:

∀v1,
,vn∈V ∀λ1,
,λn∈K: f(∑i=1nλi⋅Vvi)=∑i=1nλi⋅Wf(vi)\displaystyle \forall v_1,\dots,v_n \in V\,\forall\lambda_1,\dots,\lambda_n \in K:\,f \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) =\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right)

1. Induktionsanfang:

Wir fangen die Induktion bei n=1n=1 an und stellen fest, dass hierfĂŒr die Eigenschaft der HomogenitĂ€t ausreicht:

f(λ1⋅Vv1)↓ Homogenitašt von f=λ1⋅Wf(v1)\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl} & f \left( \lambda_1 \cdot_{{}_V} v_1 \right) \\[0.3em] & {\color{208000} \left\downarrow\ \text{HomogenitĂ€t von } f \right.} \\[0.3em] = & \lambda_1 \cdot_{{}_W} f \left( v_1 \right) \end{array}

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

∀v1,
,vn∈V ∀λ1,
,λn∈K: f(∑i=1nλi⋅Vvi)=∑i=1nλi⋅Wf(vi)\displaystyle \forall v_1,\dots,v_n \in V\,\forall\lambda_1,\dots,\lambda_n \in K:\,f \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) =\sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right)

2b. Induktionsbehauptung:

∀v1,
,vn,vn+1∈V ∀λ1,
,λn,λn+1∈K: f(∑i=1n+1λi⋅Vvi)=∑i=1n+1λi⋅Wf(vi)\displaystyle \forall v_1,\dots,v_n,v_{n+1} \in V\,\forall\lambda_1,\dots,\lambda_n,\lambda_{n+1} \in K:\,f \left( \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) =\sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right)

2c. Beweis des Induktionsschritts:

Seien v1,
,vn+1∈Vv_1,\dots,v_{n+1} \in V und λ1,
,λn+1∈K\lambda_1,\dots,\lambda_{n+1} \in K. Dann

f(∑i=1n+1λi⋅Vvi)↓ Summe aufteilen=f((∑i=1nλi⋅Vvi)+V(λn+1⋅Vvn+1))↓ Additivitašt von f=f(∑i=1nλi⋅Vvi)+Wf(λn+1⋅Vvn+1)↓ Homogenitašt von f=f(∑i=1nλi⋅Vvi)+W(λn+1⋅Wf(vn+1))↓ Induktionsannahme=(∑i=1nλi⋅Wf(vi))+W(λn+1⋅Wf(vn+1))↓ Summe zusammenfassen=∑i=1n+1λi⋅Wf(vi)\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl} & f \left( \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) \\[0.3em] & {\color{208000} \left\downarrow\ \text{Summe aufteilen} \right.} \\[0.3em] = & f \left( \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) +_{{}_V} \left( \lambda_{n+1} \cdot_{{}_V} v_{n+1} \right) \right) \\[0.3em] & {\color{208000} \left\downarrow\ \text{AdditivitĂ€t von } f \right.} \\[0.3em] = & f \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) +_{{}_W} f\left( \lambda_{n+1} \cdot_{{}_V} v_{n+1} \right) \\[0.3em] & {\color{208000} \left\downarrow\ \text{HomogenitĂ€t von } f \right.} \\[0.3em] = & f \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \cdot_{{}_V} v_i \right) +_{{}_W} \left( \lambda_{n+1} \cdot_{{}_W} f\left( v_{n+1} \right) \right) \\[0.3em] & {\color{208000} \left\downarrow\ \text{Induktionsannahme} \right.} \\[0.3em] = & \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right) \right) +_{{}_W} \left( \lambda_{n+1} \cdot_{{}_W} f\left( v_{n+1} \right) \right) \\[0.3em] & {\color{208000} \left\downarrow\ \text{Summe zusammenfassen} \right.} \\[0.3em] = & \sum_{i=1}^{n+1} \lambda_i \cdot_{{}_W} f \left( v_i \right) \end{array}

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