4Charakterisierung: Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet
Neben der definierenden Eigenschaft, dass lineare Abbildungen sich gut mit der zugrundeliegenden Vektorraumstruktur vertragen, können lineare Abbildungen auch über folgende Eigenschaft charakterisiert werden:
Lineare Abbildungen sind genau die Abbildungen, die Linearkombinationen auf Linearkombinationen abbilden.
Dies ist eine wichtige Eigenschaft, weil über Linearkombinationen wichtige Struktureigenschaften von Vektoren wie die lineare Unabhängigkeit oder das Erzeugendensystemen definiert werden. Auch die Definition der Basis gründet sich auf den Begriff der Linearkombination. Den Zusammenhang zu den Linearkombinationen erkennt man, wenn man sich die beiden charakteristischen Gleichungen linearer Abbildungen anschaut:
Wir können auf eine Linearkombination wie für Vektoren und aus die beiden obigen Formeln schrittweise anwenden. So können wir diese Linearkombination aus der Funktion schrittweise „herausziehen“:
Die Linearkombination wird durch auf abgebildet und bleibt damit in ihrer Struktur erhalten. Ähnlich verhält es sich bei anderen Linearkombinationen. Denn durch die Eigenschaft sind Summen und durch die Eigenschaft sind skalare Multiplikationen herausziehbar. Wir erhalten damit folgende alternative Charakterisierung der linearen Abbildung:
Eine Abbildung zwischen zwei -Vektorräumen und ist genau dann eine lineare Abbildung, wenn sie Linearkombinationen erhält. Sprich: Jede lineare Abbildung bildet die Linearkombination von Elementen auf die Linearkombination von den Bildern der Elemente ab. Formal bedeutet das, dass für endlich viele und gilt:
Wir wollen zeigen, dass für alle und gilt:
Wir wissen aus der Definition der linearen Abbildung, dass für diese die Eigenschaften der Additivität und Homogenität gelten, welche wir uns zu Nutze machen.
Für die Richtung von links nach rechts des Beweises wählen wir 2 Linearkombinationen so, dass wir durch Einsetzen in die obige Formel die zwei Eigenschaften erhalten.
Für die Rückrichtung wissen wir, dass eine lineare Abbildung ist. Wir können durch vollständige Induktion zeigen, dass obige Formel für alle Elemente gilt. Dabei reduzieren wir die Linearkombination auf einzelne Additionen und Skalarmultiplikationen, auf die wir die Additivität und Homogenität anwenden können.
Beweisschritt:
Seien und . Die beiden Terme und sind zwei Linearkombinationen in . Wenn wir diese in die Formel einsetzen, so erhalten wir
Damit erfüllt die Definition einer linearen Abbildung.
Beweisschritt:
Sei eine lineare Abbildung. Wir beweisen die Gleichung mit vollständiger Induktion über :
Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für bewiesen werden soll:
1. Induktionsanfang:
Wir fangen die Induktion bei an und stellen fest, dass hierfür die Eigenschaft der Homogenität ausreicht:
2. Induktionsschritt:
2a. Induktionsvoraussetzung:
2b. Induktionsbehauptung:
2c. Beweis des Induktionsschritts:
Seien und . Dann