Man hat zwei Würfel.

Grüner Würfel: $gW=\{1,6\}gW=\backslash left\backslash \{1\{,\}6\backslash right\backslash \}$

Roter Würfel: $rW=\{1,3,6\}rW=\backslash left\backslash \{1\{,\}3,6\backslash right\backslash \}$

mit den Wahrscheinlichkeiten: $P_g\left(\left\{1\right\}\right)=\frac{5}{6};P_g(6)=\frac{1}{6}P\_g\backslash left(\backslash left\backslash \{1\backslash right\backslash \}\backslash right)=\backslash frac\{5\}\{6\};\; P\_g(\{6\})=\backslash frac\{1\}\{6\}$

$P_r(1)=\frac{1}{3};P_r(3)=\frac{1}{3};P_r(6)=\frac{1}{3}P\_r(\{1\})=\backslash frac\{1\}\{3\};\; P\_r(\{3\})=\backslash frac\{1\}\{3\};\; P\_r(\{6\})=\backslash frac\{1\}\{3\}$

a) U={ggg,rr}

Man betrachtet das gleichzeitige Werfen der beiden Würfel als zweistufiges Experiment, bei dem jeweils ein Würfel entnommen wird, wobei der entnommene nicht zurückgelegt wird.

Man führt folgende Ereignisse ein:

$R_1:R\_1:$ beim 1. Zug wird ein roter Würfel entnommen. $P(R_1)=\frac{2}{5}P(R\_1)=\backslash frac\{2\}\{5\}$

$G_1:G\_1:$ beim 1. Zug wird ein grüner Würfel entnommen. $P(G_1)=\frac{3}{5}P(G\_1)=\backslash frac\{3\}\{5\}$

$R_2{\mathrm{\mid }}_r:R\_2|\_r:$ beim 2. Zug wird ein roter Würfel entnommen, wenn beim 1. Zug ein roter Würfel entnommen wurde. $P(R_2\mathrm{\mid }r)=\frac{1}{4}P(R\_2|r)=\backslash frac\{1\}\{4\}$

$R_2{\mathrm{\mid }}_g:R\_2|\_g:$ beim 2. Zug wird ein roter Würfel entnommen, wenn beim 1. Zug ein grüner Würfel entnommen wurde. $P(R_2\mathrm{\mid }g)=\frac{2}{4}P(R\_2|g)=\backslash frac\{2\}\{4\}$

$G_2{\mathrm{\mid }}_r:G\_2|\_r:$ beim 2. Zug wird ein grüner Würfel entnommen, wenn beim 1. Zug ein roter Würfel entnommen wurde. $P(G_2\mathrm{\mid }r)=\frac{3}{4}P(G\_2|r)=\backslash frac\{3\}\{4\}$

$G_2{\mathrm{\mid }}_g:G\_2|\_g:$ beim 2. Zug wird ein grüner Würfel entnommen, wenn beim 1. Zug ein grüner Würfel entnommen wurde.$P(G_2{\mathrm{\mid }}_g)=\frac{2}{4}P(G\_2|\_g)=\backslash frac\{2\}\{4\}$

Dann gilt:

$P(r,g)=P(R_1)\cdot P(G_2\mathrm{\mid }r)+P(G_1)\cdot P(R_2{\mathrm{\mid }}_g)=\frac{2}{5}\cdot \frac{3}{4}+\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}P(r,g)=P(R\_1)\backslash cdot\; P(G\_2|r)+P(G\_1)\backslash cdot\; P(R\_2|\_g)=\backslash frac\{2\}\{5\}\backslash cdot\backslash frac\{3\}\{4\}+\backslash frac\{3\}\{5\}\backslash cdot\backslash frac\{2\}\{4\}$

$P(r,g)=\frac{6}{20}+\frac{6}{20}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}P(r,g)=\backslash frac\{6\}\{20\}+\backslash frac\{6\}\{20\}=\backslash frac\{12\}\{20\}=\backslash frac\{3\}\{5\}$

b) X sei die Zufallsgröße für die Summe der Augenzahlen, wenn ein roter und ein grüner Würfel gleichzeitig geworfen werden.

Es sind folgende Summen möglich: 2, 4, 7, 9, 12,

Für die Wahrscheinlichkeiten gilt:

$P(X=2)=\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{3}=\frac{5}{18}P(X=2)=\backslash frac\{5\}\{6\}\backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{3\}=\backslash frac\{5\}\{18\}$

$P(X=4)=\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{3}=\frac{5}{18}P(X\; =4)=\backslash frac\{5\}\{6\}\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{3\}=\backslash frac\{5\}\{18\}$

$P(X=7)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{3}+\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{3}=\frac{6}{18}P(X=7)=\backslash frac\{1\}\{6\}\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{3\}+\backslash frac\{5\}\{6\}\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{3\}=\backslash frac\{6\}\{18\}$

$P(X=9)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{18}P(X=9)=\backslash frac\{1\}\{6\}\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{3\}=\backslash frac\{1\}\{18\}$

$P(X=12)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{18}P(X=12)=\backslash frac\{1\}\{6\}\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{3\}=\backslash frac\{1\}\{18\}$

Also: $P(X=7)=\frac{1}{3}P(X=7)=\backslash frac\{1\}\{3\}$