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Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Ebene

E:4x18x2+x3+50=0E: 4x_1 - 8x_2 + x_3 + 50 = 0 und die Gerade g:x=(3122)+λ(5114),λRg: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\ 12\\ -2\end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5\\ 11\\ -4 \end{pmatrix} , \lambda \in \R.

a) Erläutern Sie, warum die folgende Rechnung ein Nachweis dafür ist , dass gg und EE genau einen gemeinsamen Punkt haben:

(481)(5114)=720\begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 1\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4\end{pmatrix} =-72 \neq 0

b) Berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels von gg und EE und zeigen Sie, dass S(0,56,50)S(0{,}5|6{,}5|0) der Schnittpunkt von gg und EE ist.

c) Die Kugel KK mit dem Mittelpunkt M(13200)M(-13|20|0) berührt die Ebene E E. Bestimmen Sie die Koordinaten des zugehörigen Berührpunkts FF sowie den Kugelradius r r.

(zur Kontrolle: F(542),r=18F(-5|4|2) , r=18)

d) Weisen Sie nach, dass die Gerade gg die Kugel KK im Punkt T(3122)T(3|12|-2) berührt.

Bild

Die Punkte M,T,SM, T, S und FF (vgl. die Auf-gaben b, c und d) liegen in einer Ebene Z Z. Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt die Gerade g g, den Schnitt der Ebene E E mit der Ebene ZZ sowie den Schnitt der Kugel KK mit der Ebene ZZ.

e) Begründen Sie, dass das Viereck MTSFMTSF einen Umkreis besitzt. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Vierecks.

f) Durch Rotation des Vierecks MTSFMTSF um die Gerade MSMS entsteht ein Körper. Beschreiben Sie diesen Körper.

In einer Formelsammlung ist zur Berechnung des Volumens eines solchen Körpers die Formel V=13(a2)2πbV=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2\cdot\pi\cdot b zu finden. Geben Sie für den beschriebenen Körper die Strecken an, deren Längen für a a bzw. bb einzusetzen sind.