Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 2

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Ebene

$E: 4x_1 - 8x_2 + x_3 + 50 = 0$ und die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\ 12\\ -2\end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5\\ 11\\ -4 \end{pmatrix} , \lambda \in \R$.

a) Erläutern Sie, warum die folgende Rechnung ein Nachweis dafür ist , dass $g$ und $E$ genau einen gemeinsamen Punkt haben:

$\begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 1\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4\end{pmatrix} =-72 \neq 0$

b) Berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels von $g$ und $E$ und zeigen Sie, dass $S(0{,}5|6{,}5|0)$ der Schnittpunkt von $g$ und $E$ ist.

c) Die Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $M(-13|20|0)$ berührt die Ebene $E$. Bestimmen Sie die Koordinaten des zugehörigen Berührpunkts $F$ sowie den Kugelradius $r$.

(zur Kontrolle: $F(-5|4|2) , r=18$)

d) Weisen Sie nach, dass die Gerade $g$ die Kugel $K$ im Punkt $T(3|12|-2)$ berührt.

e) Begründen Sie, dass das Viereck $MTSF$ einen Umkreis besitzt. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Vierecks.

f) Durch Rotation des Vierecks $MTSF$ um die Gerade $MS$ entsteht ein Körper. Beschreiben Sie diesen Körper.

In einer Formelsammlung ist zur Berechnung des Volumens eines solchen Körpers die Formel $V=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2\cdot\pi\cdot b$ zu finden. Geben Sie für den beschriebenen Körper die Strecken an, deren Längen für $a$ bzw. $b$ einzusetzen sind.