Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 2

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Ebene
$E : 4 x_{1} - 8 x_{2} + x_{3} + 50 = 0$ und die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3\\ 12\\ -2\end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5\\ 11\\ -4 \end{pmatrix} , \lambda \in \R$ .
a) Erläutern Sie, warum die folgende Rechnung ein Nachweis dafür ist , dass $g$ und $E$ genau einen gemeinsamen Punkt haben:
$\begin{pmatrix} 4 \\ -8 \\ 1\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4\end{pmatrix} =-72 \neq 0$
b) Berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels von $g$ und $E$ und zeigen Sie, dass $S (0,5 ∣ 6,5 ∣ 0)$ der Schnittpunkt von $g$ und $E$ ist.
c) Die Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $M (- 13 ∣ 20 ∣ 0)$ berührt die Ebene $E$ . Bestimmen Sie die Koordinaten des zugehörigen Berührpunkts $F$ sowie den Kugelradius $r$ .
(zur Kontrolle: $F (- 5 ∣ 4 ∣ 2), r = 18$ )
d) Weisen Sie nach, dass die Gerade $g$ die Kugel $K$ im Punkt $T (3 ∣ 12 ∣ - 2)$ berührt.
Die Punkte $M, T, S$ und $F$ (vgl. die Auf-gaben b, c und d) liegen in einer Ebene $Z$ . Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt die Gerade $g$ , den Schnitt der Ebene $E$ mit der Ebene $Z$ sowie den Schnitt der Kugel $K$ mit der Ebene $Z$ .
e) Begründen Sie, dass das Viereck $M T S F$ einen Umkreis besitzt. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Vierecks.
f) Durch Rotation des Vierecks $M T S F$ um die Gerade $M S$ entsteht ein Körper. Beschreiben Sie diesen Körper.
In einer Formelsammlung ist zur Berechnung des Volumens eines solchen Körpers die Formel $V=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2\cdot\pi\cdot b$ zu finden. Geben Sie für den beschriebenen Körper die Strecken an, deren Längen für $a$ bzw. $b$ einzusetzen sind.

Lösung zu Teilaufgabe a)
Eine Gerade hat mit einer Ebene genau einen gemeinsamen Punkt, wenn die Gerade weder parallel zur Ebene ist noch in der Ebene liegt.
Das bedeutet, dass Normalenvektor der Ebene nicht senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden sein darf. Also muss das Skalarprodukt von Normalenvektor und Richtungsvektor ungleich Null sein.
Den Normalenvektor der Ebene $E$ liest man aus der Koordinatendarstellung ab.
$\vec{n}=\begin{pmatrix}4\\-8\\1 \end{pmatrix}$ und $\vec{u}=\begin{pmatrix}5\\11\\-4 \end{pmatrix}$ .
Für das Skalarprodukt gilt:
$\vec{n}\circ \vec{u}=\begin{pmatrix}4\\-8\\1 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}5\\11\\-4 \end{pmatrix}=20-88-4=-72.$
Lösung zu Teilaufgabe b)
Den Schnittwinkel $\alpha$ von $g$ mit $E$ berechnet man mithilfe der Sinusfunktion.
Es gilt: $\sin{\alpha}=\dfrac{|\vec{n}\circ\vec{u}|}{|\vec{n}|\cdot|\vec{u}|}=\dfrac{|-72|}{\sqrt{81}\cdot\sqrt{162}}=\dfrac{72}{9\sqrt{162}}=0{,}6285\Rightarrow\alpha\approx38{,}9°$
Der Punkt $S (0,5 ∣ 6,5 ∣ 0)$ ist Schnittpunkt, wenn seine Koordinaten die Ebenengleichung erfüllen und wenn es eine Zahl $\lambda_S$ gibt, sodass gilt:
$\begin{pmatrix}0{,}5\\6{,}5\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\12\\-2 \end{pmatrix}+\lambda_S\begin{pmatrix}5\\11\\-4 \end{pmatrix}$ .
Damit erhält man ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen:
$\begin{pmatrix}0{,}5=3+5\lambda_S\\6{,}5=12+11\lambda_S\\0=-2-4\lambda_S \end{pmatrix}$
Zur Bestimmung von $\lambda_S$ wählt man eine der drei Gleichungen aus. Natürlich wählt man die einfachste, die letzte Gleichung und erhält für $\lambda_S=-\frac{1}{2}.$
Man prüft, ob dieser Wert für $\lambda_S=-\frac{1}{2}$ auch die beiden ersten Gleichungen
erfüllt, dies ist der Fall. Damit liegt der Punkt auf der Geraden.
Wegen $4\cdot0{,}5-8\cdot6{,}5+0=2-52=-50$ erfüllen die Koordinaten des Punktes auch die Ebenengleichung.
Lösung zu Teilaufgabe c )
Um die Koordinaten des Berührpunktes $F$ der Ebene $E$ mit der Kugel $K$ und den Radius $r$ der Kugel zu bestimmen, stellt man eine Hilfsgerade auf. Diese Hilfsgerade $h$ hat den Mittelpunkt $M (- 13 ∣ 20 ∣ 0)$ als Aufpunkt und den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor
$h:\vec{x}=\begin{pmatrix}-13\\20\\0 \end{pmatrix}+\rho\begin{pmatrix}4\\-8\\1 \end{pmatrix}$
Diese Gerade $h$ schneidet die Kugel im Berührpunkt $F$ .
Zur Lösung setzt man $h$ in $E$ ein.
Um den Berührpunkt $F$ der Kugel K mit der Ebene $E$ zu bestimmen, bildet man die Gleichung einer Hilfsgeraden $h$ durch den Mittelpunkt $M$ der Kugel $K$ mit dem Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene $E$ als Richtungsvektor der Geraden $h$ .
Diesen Ortsvektor $\vec{x}$ setzt man in die Ebenengleichung ein.
$\begin{pmatrix}4\\-8\\1 \end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}-13\\20\\0 \end{pmatrix}+\rho\begin{pmatrix}4\\-8\\1 \end{pmatrix}\right]=-50$
$-52-160+81\rho=-50\Leftrightarrow-162+81\rho=0\Leftrightarrow81\rho=162\Leftrightarrow\rho=2\Rightarrow F(-13+8|20-16|2)$ , also $F (- 5 ∣ 4 ∣ 2) .$
Der Radius $r$ der Kugel $K$ errechnet sich als Abstand des Mittelpunktes $M$ vom Berührpunkt $F$
Somit $r=\left|\begin{pmatrix}-13\\20\\0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-5\\4\\2 \end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}-8\\16\\-2 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{64+256+4}=\sqrt{324}=18$
Lösung zu Teilaufgabe d)
Wenn der Punkt $T (3 ∣ 12 ∣ - 2)$ von $M (- 13 ∣ 20 ∣ 0)$ den Abstand $r = 18$ hat, so liegt er auf der Kugel $K$ .
$d(T,M)=\left|\begin{pmatrix} -13\\20\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\12\\-2 \end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}-16\\8\\2 \end{pmatrix}\right|=18$
Wenn der Richtungsvektor $\vec{u}=\begin{pmatrix}5\\11\\-4\end{pmatrix}$ der Geraden $g$ und der Vektor
$\overrightarrow{TM}=\begin{pmatrix}-8\\16\\2 \end{pmatrix}$ orthogonal zueinander sind, so ist die Gerade $g$ parallel zur Tangente an die Kugel $K$ .
Skalarprodukt $\overrightarrow{TM}\circ\vec{u}=\begin{pmatrix}-16\\8\\2 \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}5\\11\\-4 \end{pmatrix}=-80+88-8=0$
Somit ist die Gerade $g$ parallel zur Tangente an die Kugel $K$ .

Und der Punkt $T$ soll auch noch auf der Geraden $g$ liegen.
Diese Bedingung ist erfüllt, da der Aufpunkt der Geraden $g$ die Koordinaten von $T$ hat. Daher ist $T$ Aufpunkt der Geraden und so auch Punkt der Geraden.
Damit ist die Gerade $g$ Tangente an die Kugel $K$ .
Lösung zu Teilaufgabe e)
Man soll begründen, dass das Viereck $M T S F$ einen Umkreis hat.
Nun kann man versuchen, den Umkreismittelpunkt zu berechnen. Da aber keine Berechnung verlangt ist, kann man sich einen eventuellen Rechenvorgang sparen.
Das Viereck zerlegt man in die beiden Dreiecke $M T S$ und $M S F$ .
Das Dreieck $M T S$ ist rechtwinklig im Punkt $T$ . Denn laut Aufgabe d) ist die Gerade Tangente an die Kugel und damit auch an den Kreis um den Mittelpunkt $M$ . Radius und Tangente stehen senkrecht aufeinander.
Das Dreieck $M S F$ ist auch rechtwinklig im Punkt $F$ , da der Punkt $F$ Berührpunkt der Ebene $E$ mit der Kugel $K$ ist.
Die Dreiecke $M T S$ und $M S F$ sind kongruent, da die Seiten $M T$ und $M F$ gleich lang sind. Die Seiten $M T$ und $M F$ sind Radius. Die Seite $M S$ ist beiden Dreiecken gemeinsam. Weil noch beide Dreiecke jeweils einen rechten Winkel haben, so sind sie wegen SWS kongruent. Damit ist die Strecke $M S$ Winkelhalbierende des Winkels $\text{arc}\left(TMF\right)$ Damit haben die Punkte $T$ und $F$ von jedem Punkt, also auch vom Mittelpunkt der Strecke $M S$ , der Winkelhalbierenden gleichen Abstand. Dann ist dieser Mittelpunkt von $\left[MS\right]$ der Umkreismittelpunkt.
Um den Inhalt der Fläche des Vierecks zu berechnen, muss man nur den Inhalt des Dreiecks $M T S$ berechnen.
Als Grundseite g wählt man $\left[MT\right]$ . Damit gilt für $g$ : $g = 18$ .
Als Höhe $h$ muss man dann $\left[TS\right]$ wählen. Da die Koordinaten der Punkte $S$ und $T$ bekannt sind, berechnet man für die Höhe $h$ : $h=\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{162}$ .
Für den Flächeninhalt A des Vierecks gilt dann:
$A=2\cdot\frac{1}{2}\cdot 18\cdot\frac{1}{2}\cdot\sqrt{162}=9 \cdot9\cdot \sqrt{2}\ \approx 114{,}55\;\text{FE}$ .
Damit ergibt sich für das Volumen des Rotationskörpers der Ausdruck:
$V=V_1+V_2=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2\cdot\pi\cdot h_1+\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{a}{2}\right)^2\cdot\pi\ \cdot h_2$
$V=\dfrac{1}{3}\cdot\left(\dfrac{a}{2}\right)^2\cdot\pi\ \cdot\left(h_1+h_2\right)=\dfrac{1}{3}\cdot\left(\dfrac{12}{2}\right)^2\cdot\pi\ \cdot\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot27$
$V=6\cdot27\cdot\sqrt{2}\cdot\pi=162\cdot\sqrt{2}\cdot\pi \approx 719{,}75\;\text{VE}$

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Geometrie, Teil B, Aufgabengruppe 2

Lösung zu Teilaufgabe a)

Lösung zu Teilaufgabe b)

Lösung zu Teilaufgabe c )

Lösung zu Teilaufgabe d)

Lösung zu Teilaufgabe e)