Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Ebene
und die Gerade .
a) Erläutern Sie, warum die folgende Rechnung ein Nachweis dafür ist , dass und genau einen gemeinsamen Punkt haben:
b) Berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels von und und zeigen Sie, dass der Schnittpunkt von und ist.
c) Die Kugel mit dem Mittelpunkt berührt die Ebene . Bestimmen Sie die Koordinaten des zugehörigen Berührpunkts sowie den Kugelradius .
(zur Kontrolle: )
d) Weisen Sie nach, dass die Gerade die Kugel im Punkt berührt.
Die Punkte und (vgl. die Auf-gaben b, c und d) liegen in einer Ebene . Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt die Gerade , den Schnitt der Ebene mit der Ebene sowie den Schnitt der Kugel mit der Ebene .
e) Begründen Sie, dass das Viereck einen Umkreis besitzt. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Vierecks.
f) Durch Rotation des Vierecks um die Gerade entsteht ein Körper. Beschreiben Sie diesen Körper.
In einer Formelsammlung ist zur Berechnung des Volumens eines solchen Körpers die Formel zu finden. Geben Sie für den beschriebenen Körper die Strecken an, deren Längen für bzw. einzusetzen sind.
Lösung zu Teilaufgabe a)
Eine Gerade hat mit einer Ebene genau einen gemeinsamen Punkt, wenn die Gerade weder parallel zur Ebene ist noch in der Ebene liegt.
Das bedeutet, dass Normalenvektor der Ebene nicht senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden sein darf. Also muss das Skalarprodukt von Normalenvektor und Richtungsvektor ungleich Null sein.
Den Normalenvektor der Ebene liest man aus der Koordinatendarstellung ab.
und .
Für das Skalarprodukt gilt:
Lösung zu Teilaufgabe b)
Den Schnittwinkel von mit berechnet man mithilfe der Sinusfunktion.
Es gilt:
Der Punkt ist Schnittpunkt, wenn seine Koordinaten die Ebenengleichung erfüllen und wenn es eine Zahl gibt, sodass gilt:
.
Damit erhält man ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen:
Zur Bestimmung von wählt man eine der drei Gleichungen aus. Natürlich wählt man die einfachste, die letzte Gleichung und erhält für
Man prüft, ob dieser Wert für auch die beiden ersten Gleichungen
erfüllt, dies ist der Fall. Damit liegt der Punkt auf der Geraden.
Wegen erfüllen die Koordinaten des Punktes auch die Ebenengleichung.
Lösung zu Teilaufgabe c )
Um die Koordinaten des Berührpunktes der Ebene mit der Kugel und den Radius der Kugel zu bestimmen, stellt man eine Hilfsgerade auf. Diese Hilfsgerade hat den Mittelpunkt als Aufpunkt und den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor
Diese Gerade schneidet die Kugel im Berührpunkt .
Zur Lösung setzt man in ein.
Um den Berührpunkt der Kugel K mit der Ebene zu bestimmen, bildet man die Gleichung einer Hilfsgeraden durch den Mittelpunkt der Kugel mit dem Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor der Geraden .
Diesen Ortsvektor setzt man in die Ebenengleichung ein.
, also
Der Radius der Kugel errechnet sich als Abstand des Mittelpunktes vom Berührpunkt
Somit
Lösung zu Teilaufgabe d)
Wenn der Punkt von den Abstand hat, so liegt er auf der Kugel .
Wenn der Richtungsvektor der Geraden und der Vektor
orthogonal zueinander sind, so ist die Gerade parallel zur Tangente an die Kugel .
Skalarprodukt
Somit ist die Gerade parallel zur Tangente an die Kugel .
Und der Punkt soll auch noch auf der Geraden liegen.
Diese Bedingung ist erfüllt, da der Aufpunkt der Geraden die Koordinaten von hat. Daher ist Aufpunkt der Geraden und so auch Punkt der Geraden.
Damit ist die Gerade Tangente an die Kugel .
Lösung zu Teilaufgabe e)
Man soll begründen, dass das Viereck einen Umkreis hat.
Nun kann man versuchen, den Umkreismittelpunkt zu berechnen. Da aber keine Berechnung verlangt ist, kann man sich einen eventuellen Rechenvorgang sparen.
Das Viereck zerlegt man in die beiden Dreiecke und .
Das Dreieck ist rechtwinklig im Punkt . Denn laut Aufgabe d) ist die Gerade Tangente an die Kugel und damit auch an den Kreis um den Mittelpunkt . Radius und Tangente stehen senkrecht aufeinander.
Das Dreieck ist auch rechtwinklig im Punkt , da der Punkt Berührpunkt der Ebene mit der Kugel ist.
Die Dreiecke und sind kongruent, da die Seiten und gleich lang sind. Die Seiten und sind Radius. Die Seite ist beiden Dreiecken gemeinsam. Weil noch beide Dreiecke jeweils einen rechten Winkel haben, so sind sie wegen SWS kongruent. Damit ist die Strecke Winkelhalbierende des Winkels Damit haben die Punkte und von jedem Punkt, also auch vom Mittelpunkt der Strecke , der Winkelhalbierenden gleichen Abstand. Dann ist dieser Mittelpunkt von der Umkreismittelpunkt.
Um den Inhalt der Fläche des Vierecks zu berechnen, muss man nur den Inhalt des Dreiecks berechnen.
Als Grundseite g wählt man . Damit gilt für : .
Als Höhe muss man dann wählen. Da die Koordinaten der Punkte und bekannt sind, berechnet man für die Höhe : .
Für den Flächeninhalt A des Vierecks gilt dann:
.
Damit ergibt sich für das Volumen des Rotationskörpers der Ausdruck:
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