Die Seitenmittelpunkte des großen Quadrates $ABCD$ liefern ein Quadrat, das um $90°$ gedreht worden ist. Die Seitenmittelpunkte dieses Quadrates liefern wiederum ein kleineres Quadrat, dessen Seitenmittelpunkte erneut ein noch kleineres Quadrat erzeugen usw. Das Ganze "verschwindet" schließlich im Zentrum der Figur.

Die Eckpunkte der immer kleiner werdenden Quadrate rücken näher und näher zusammen, bis sie sich nicht mehr voneinander unterscheiden lassen. Somit entsteht im Unendlichen ein "Quadrat ohne Ecken".

Diese Dreiecke sind alle gleichschenklig-rechtwinklig.

Das Dreieck  ${\mathrm{AM}}_1M_2$ nimmt $\frac18$ des Flächeninhaltes des Quadrates $ABCD$ ein.

$\frac18=0{,}125=12{,}5\%$

Das Viereck ${\mathrm{APQM}}_2$ ist ein Parallelogramm. Die Diagonale $\left[{\mathrm{PM}}_2\right]$ zerlegt dieses Parallelogramm in zwei kongruente gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke. Die Strecke [$AP$] zerlegt das Dreieck ${\mathrm{AM}}_1M_2$ ebenfalls in zwei kongruente gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke.

Also gilt: $A_{{\mathrm{ΔPQM}}_2}=\frac12A_{{\mathrm{ΔAM}}_1M_2}$

Das Viereck ${\mathrm{PZQM}}_2$ ist ein Quadrat. Das Dreieck ${\mathrm{PQM}}_2$ lässt sich also mit dem Dreieck ${\mathrm{PZM}}_2$ zur Deckung bringen. Das Dreieck, das dem Dreieck ${\mathrm{PQM}}_2$ unmittelbar in der Spirale folgt, ist zum Dreieck $(1)$ kongruent. Sein Nachfolger in der Spirale deckt sich mit dem Dreieck $(2)$, dessen Nachfolger in der Spirale deckt sich mit dem Dreieck $(3)$ usw. So wird das Dreieck ${\mathrm{PM}}_1Z$ nach und nach lückenlos mit Nachfolgern in der Spirale aufgefüllt.

Mit allen Dreiecken aus der Spirale lässt sich das Quadrat  ${\mathrm{AM}}_1{\mathrm{ZM}}_2$ lückenlos füllen. Dieses Quadrat bedeckt  $\frac14$ des Quadrates ABCD.

Da $\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}+\frac1{32}+…=1$   muss man nur noch das hinzugefügte $\frac12$ und $\frac14$ wieder abziehen.

$\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\dots$

$=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$