10Distributivgesetze (in Arbeit)

Ähnlich wie bei den Zahlen das Distributivgesetz $a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ gilt, gibt es auch für die Logik-Verknüpfungen "Und" und "Oder" je ein Distributivgesetz:

Sicher weißt du schon, wie du die Gültigkeit der Regeln nachprüfen kannst. Es geht natürlich mit einer Wahrheitswerttabelle! Da es drei Aussagen sind, musst du $2^3=8$ Fälle unterscheiden. Das kannst du in einer Aufgabe nachrechnen.

Diesmal kannst du aber auch anders überlegen und dir dabei die schon bewiesenen Regeln zunutze machen. Los geht es mit

$A\wedge(B\vee C)\Leftrightarrow(A\wedge B)\vee(A\wedge C)$

• Wenn $A$ wahr ist, dann ist die linke Seite nach dem Absorptionsgesetz äquivalent zu $B\vee C$. Aber auch rechts kann man nach dem Absorptionsgesetz $A\vee B$ zu $B$ und $A\vee C$ zu $C$ zusammenziehen, also ist die rechte Seite auch zu $B\vee C$ äquivalent.

• Wenn $A$ falsch ist, dann ist sicher die linke Seite falsch, und weil dann auch $A\wedge B$ und $A\wedge C$ falsch sind, ist es auch die rechte Seite.

Ganz ähnlich beweist du das zweite Distributivgesetz

$A\vee(B\wedge C)\Leftrightarrow (A\vee B)\wedge (A\vee C)$

• Wenn $A$ wahr ist, dann ist die linke Seite wahr, und weil dann auch $A\vee B$ und $A\vee C$ wahr sind, ist es auch die rechte Seite.

• Wenn $A$ falsch ist, ist nach dem Absorptionsgesetz die linke Seite äquivalent zu $B\wedge C$. Aus dem gleichen Grund ist $A\vee B$ zu $B$ und $A\vee C$ zu $C$ äquivalent, also ist die rechte Seite genau wie die linke zu $B\wedge C$ äquivalent.