Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 2

Vor dem Verpacken werden die verschiedenfarbigen Gummibärchen in großen Behältern gemischt, wobei der Anteil der roten Gummibärchen $25$ % beträgt. Ein Verpackungsautomat füllt jeweils $50$ Gummibärchen aus einem der großen Behälter in eine Tüte.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer zufällig aus-gewählten Tüte mehr als ein Drittel der Gummibärchen rot ist. (3P)
%
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Lösung
Mehr als ein Drittel der Gummibärchen ist rot
Es ist $n=50$ und $p=0{,}25$ .
Binomialverteilung:
$X>\dfrac{1}{3}\cdot 50\;\Rightarrow\;X\geq17$
$P(X\geq 17)=1-P(X\leq16)=1-F(50;0{,}25;16)=1-0{,}9017=0{,}0983$
Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als ein Drittel der Gummibärchen rot ist, beträgt rund $9{,}8\;\%$
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Es ist $n=50$ und $p=0{,}25$ und es handelt sich um eine Binomialverteilung.
Berechne $X>\dfrac{1}{3}\cdot 50$ .
Rechne dann mit dem Gegenereignis.
Um sicherzustellen, dass jeweils genau $50$ Gummibärchen in eine Tüte gelangen, fallen diese einzeln nacheinander aus einer Öffnung des Behälters in den Verpackungsautomaten.
Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem folgenden Term berechnet werden kann:
$\sum_{k=0}^{3}(0{,}75^k\cdot 0{,}25)$ (2P)

Laut Aufgabentext ist der Anteil der roten Gummibärchen $25$ %. Also gilt
$P(r)=P(\text{'rotes\thinspace Gummibärchen'})=0{,}25=p$ und
$P(\overline{r})=P(\text{'nicht\thinspace rotes \thinspace Gummibärchen'})$
$=0{,}75=q$
Durch
$\displaystyle\sum_{k=0}^3(0{,}75)^k\cdot0{,}25$
$=q^0\cdot p+q^1\cdot p+q^2\cdot p+q^3\cdot p$
wird das Ereignis
$A=\{r, \overline{r}\,r, \overline{r}\,\overline{r}\,r, \overline{r}\,\overline{r}\,\overline{r}\,r\}$ beschrieben.
Also $A:$ 'bei den ersten $4$ Entnahmen ist mindestens ein rotes Gummibärchen dabei.
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Ermitteln Sie, wie groß der Anteil der gelben Gummibärchen in der Produktion mindestens sein muss, damit in einer zufällig ausgewählten Tüte mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95$ % mindestens ein gelbes Gummibärchen enthalten ist. (4P)

In dem in Aufgabe 2 beschriebenen großen Behälter befinden sind gelbe und nichtgelbe Gummibärchen.
Der Anteil der der gelben Gummibärchen kann als konstant vorausgesetzt werden.
Dann werden dem großen Behälter $50$ Gummibärchen entnommen.
Also kann man das Experiment, $50$ Gummibärchen aus dem großen Behälter entnehmen und beobachten, ob das Gummibärchen gelb ist, als Bernoullikette der Länge $50$ beschreiben.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ : 'mindestens ein gelbes Gummibärchen befindet sich in der Tüte mit $50$ Gummibärchen' ist gleichbedeutend mit dem Ereignis:
'nicht (kein gelbes Gummibärchen) in der Tüte'.
Damit gilt wegen $P(A\cup\overline{A})=1\iff P(A)=1-P(\overline{A})$
Sei $p$ die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis: 'Ziehen eines gelben Gummibärchens' , so gilt: $P(\overline{A})=(1-p)^{50}=q^{50}$
Also $P(A)=1-q^{50}\geq 0{,}95$
$1-q^{50}\geq 0{,}95\iff0{,}05\geq q^{50}\iff (0{,}05)^{\frac{1}{50}}\geq q\\\iff 1-p\leq 0{,}9418\iff p\geq 0, 058$
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