Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 2

Lösung

Mehr als ein Drittel der Gummibärchen ist rot

Es ist $n=50$ und $p=0{,}25$.

Binomialverteilung:

$X>\dfrac{1}{3}\cdot 50\;\Rightarrow\;X\geq17$

$P(X\geq 17)=1-P(X\leq16)=1-F(50;0{,}25;16)=1-0{,}9017=0{,}0983$

Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als ein Drittel der Gummibärchen rot ist, beträgt rund $9{,}8\;\%$

In dem in Aufgabe 2 beschriebenen großen Behälter befinden sind gelbe und nichtgelbe Gummibärchen.

Der Anteil der der gelben Gummibärchen kann als konstant vorausgesetzt werden.

Dann werden dem großen Behälter $50$ Gummibärchen entnommen.

Also kann man das Experiment, $50$ Gummibärchen aus dem großen Behälter entnehmen und beobachten, ob das Gummibärchen gelb ist, als Bernoullikette der Länge $50$ beschreiben.

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$: 'mindestens ein gelbes Gummibärchen befindet sich in der Tüte mit $50$ Gummibärchen' ist gleichbedeutend mit dem Ereignis:

'nicht (kein gelbes Gummibärchen) in der Tüte'.

Damit gilt wegen $P(A\cup\overline{A})=1\iff P(A)=1-P(\overline{A})$

Sei $p$ die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis: 'Ziehen eines gelben Gummibärchens' , so gilt: $P(\overline{A})=(1-p)^{50}=q^{50}$

Also $P(A)=1-q^{50}\geq 0{,}95$

$1-q^{50}\geq 0{,}95\iff0{,}05\geq q^{50}\iff (0{,}05)^{\frac{1}{50}}\geq q\\\iff 1-p\leq 0{,}9418\iff p\geq 0, 058$

Der Anteil der nicht als vegan gekennzeichneten Tüten ist dreimal so groß wie der Anteil der Tüten, die als vegan gekennzeichnet sind.

Also: $P(V)=p\Rightarrow P(\overline{V})=1-p=q\\$Es gilt: $p+q=1\land q=3\cdot p\Rightarrow q=\frac{3}{4}\land p=\frac{1}{4}$

Insgesamt sind $63$ % der Tüten weder als vegan noch als zuckerreduziert gekennzeichnet. Das bedeutet: $P(\overline{V}\cap \overline{R})=0{,}63=\frac{63}{100}$

Im bedingten Wahrscheinlichkeitsraum gilt:

$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$

Damit hat man: $\displaystyle P_{\overline{V}}(\overline{R})=\frac{P(\overline{V}\cap\overline{R})}{P(\overline{V})}=\frac{\frac{63}{100}}{\frac{3}{4}}=\frac{63\cdot4}{100\cdot3}=\frac{21}{25}=0{,}84$

$42$% der Tüten, die als vegan gekennzeichnet sind, sind zusätzlich als zuckerreduziert gekennzeichnet.

Also: $P_V(R)=0{,}42\Rightarrow P_V(\overline{R})=0{,}58$

Es gilt: $P(\overline{R})=P(V\cap \overline{R})+P(\overline{V}\cap\overline{R})$

Laut Angabe sind insgesamt $63$% der Tüten weder als vegan noch als zuckereduziert gekennzeichnet.

Also: $P(\overline{V}\cap\overline{R})=0{,}63$

Weil $P(V\cap\overline{R})= P(V)\cdot P_V(\overline{R})=\frac{1}{4}\cdot 0{,}58=0{,}25\cdot 0{,}58=0{,}145$

Somit hat man: $P(\overline{R})=0{,}145+0{,}63=0{,}775$

Wie kann man so eine Aufgabe systematisch lösen?

Stelle eine Vierfeldertafel auf und trage alles ein, was du weißt:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l|ll|l} & V& \overline{V}& \\ \hline R & &&\\ \overline{R}&\hphantom{0{,}145}&\hphantom{0{,}145}&\\ \hline & 0{,}25&0{,}75 \end{array}$

Rechne wie oben aus, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit von $V$ gerade $0{,}25$ und daher die von $\overline{V}$ $0{,}75$ beträgt.

Die Tatsache, dass $42\%$ der veganen Tüten zuckerreduziert ist (und damit $58\%$ nicht), gibt dir die Einträge in der $V$-Spalte:

$P(V\cap R)=P(V)\cdot P_V(R)=0{,}25\cdot 0{,}42=0{,}105$ und

$P(V\cap \overline{R})=P(V)\cdot P_V(\overline{R})=0{,}25\cdot 0{,}58=0{,}145$

Jetzt sieht die Vierfeldertafel so aus:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l|ll|l} & V& \overline{V}& \\ \hline R &0{,}105 &&\\ \overline{R}&0{,}145&\hphantom{0{,}145}&\\ \hline & 0{,}25&0{,}75 \end{array}$

Mit der weiteren Information, dass $63\%$ der Tüten weder vegan noch zuckerreduziert sind, hast du alle Informationen verarbeitet. Der Wert $P(\overline{V}\cap\overline{R})=0{,}63$ wird eingetragen.

Danach kannst du sofort die zweite Zeile (die mit $\overline{R}$) zusammenrechnen und durch Subtraktion den Wert von

$P(\overline{V}\cap R)=P(\overline{V})-P(\overline{V}\cap \overline{R})=0{,}75-0{,}63=0{,}12$

ermitteln (diesen Wert brauchst du erst in Teil b) dieser Aufgabe):

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l|ll|l} & V& \overline{V}& \\ \hline R &0{,}105 &0{,}12\hphantom{0}&\\ \overline{R}&0{,}145&0{,}63&0{,}775\\ \hline & 0{,}25&0{,}75 \end{array}$

Es ist also $P(\overline{R})=0{,}775.$

Für Teil b) berechnest du nun

$\displaystyle P_{\overline{V}}(R)=\frac{P(\overline{V}\cap R)}{P(\overline{V})}=\frac{0{,}12}{0{,}75}=0{,}16.$

Aufbau der Lösung mit Ereignisbäumen

Beginne mit der Skizze eines Ereignisbaums und unterscheide zuerst die Fälle $V$ und $\overline{V}$.

Wie vorhin kannst du die Wahrscheinlichkeiten von $V$, $\overline{V}$ und $\overline{V}\cap\overline{R}$ aus dem Aufgabentext übernehmen.

Genau wie oben berechnest du nun die Wahrscheinlichkeiten von $V\cap R$ und $V\cap\overline{R}$ aus den angegebene bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_V(R)$ und $P_V(\overline{R})$.

Damit kannst du nun die Wahrscheinlichkeit von $\overline{R}$ erhalten:

Weil $P_{\overline{V}}(R)=1-P_{\overline{V}}(\overline{R})\Rightarrow P_{\overline{V}}(R)=1-0{,}84=0{,}16=\frac{4}{25}$

Lösung mit Ereignisbaum

Beginne wieder mit dem Ereignisbaumaus Teil a), die relevanten Daten sind rot.

Jetzt kannst du durch Subtraktion die Wahrscheinlichkeit von $\overline{V}\cap R$ bestimmen.

Damit erhältst du die gesuchte relative Wahrscheinlichkeit $\displaystyle P_{\overline{V}}(R)=\frac{P(\overline{V}\cap R)}{P(\overline{V})}$.

Es gilt: $1-P_{\overline{V}}(R)=P_{\overline{V}}(\overline{R})$ . $P_{\overline{V}}(\overline{R})$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das nicht-zuckerreduzierte Fruchtgummi aus einer nicht-vegan gekennzeichneten Tüte stammt.

Für den Erwartungswert $E\left(X\right)$ gilt: $E(X)=0\cdot p_0+1\cdot p_1+2\cdot 0{,}2+3\cdot 0{,}1$

Laut Aufgabenstellung gilt $E(X)=1$

Also hat man: $0\cdot p_0+1\cdot p_1+2\cdot 0{,}2+3\cdot 0{,}1=1\\ \iff 1\cdot p_1+2\cdot 0{,}2+3\cdot 0{,}1=1\\ \iff p_1+0{,}4+0{,}3=1\\ \iff p_1=1-0{,}7=0{,}3$

Da die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller unvereinbarer Ereignisse im Wahrscheinlichkeitsraum immer gleich $1$ ist, gilt:

$p_0+p_1+0{,}2+0{,}1=1\\\iff p_0+0{,}3+0{,}2+0{,}1=1\\\iff p_0\cdot 0{,}6=1\\\iff p_0=0{,}4$

Für die Varianz gilt:

$Var(X)=\Sigma_{i=0}^3(k_i-\mu)^2\cdot P(X=k_i)\\=(0-1)^2\cdot 0{,}4+(1-1)^2\cdot 0{,}3+(2-1)^2\cdot 0{,}2+(3-1)^2\cdot 0{,}1\\\iff Var(X)=1\cdot 0{,}4+0\cdot 0{,}3+1\cdot 0{,}2+4\cdot 0{,}1=1$

Für die Standardabweichung $\sigma(Y_n)$ gilt: $\sigma(Y_n)=\sqrt{\text{Var}(Y_n)}=\sqrt{n}$.

Für die relative Standardabweichung gilt dann:

$\frac{\sigma(Y_)}{E(Y_n)}=\frac{\sqrt{n}}{n}=\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{5}{100}=\frac{1}{20}\Leftrightarrow\sqrt{n}=20\Leftrightarrow n=400$