Der Anteil der nicht als vegan gekennzeichneten Tüten ist dreimal so groß wie der Anteil der Tüten, die als vegan gekennzeichnet sind.

Also: $P(V)=p\Rightarrow P(\bar{V})=1-p=qP(V)=p\backslash Rightarrow\; P(\backslash overline\{V\})=1-p=q\backslash \backslash$Es gilt: $p+q=1\wedge q=3\cdot p\Rightarrow q=\frac{3}{4}\wedge p=\frac{1}{4}p+q=1\backslash land\; q=3\backslash cdot\; p\backslash Rightarrow\; q=\backslash frac\{3\}\{4\}\backslash land\; p=\backslash frac\{1\}\{4\}$

Insgesamt sind $6363\%$ % der Tüten weder als vegan noch als zuckerreduziert gekennzeichnet. Das bedeutet: $P(\bar{V}\cap \bar{R})=\mathrm{0,63}=\frac{63}{100}P(\backslash overline\{V\}\backslash cap\; \backslash overline\{R\})=0\{,\}63=\backslash frac\{63\}\{100\}$

Im bedingten Wahrscheinlichkeitsraum gilt:

$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}P\_A(B)=\backslash frac\{P(A\backslash cap\; B)\}\{P(A)\}$

Damit hat man: ${\displaystyle P_{\bar{V}}(\bar{R})=\frac{P(\bar{V}\cap \bar{R})}{P(\bar{V})}=\frac{\frac{63}{100}}{\frac{3}{4}}=\frac{63\cdot 4}{100\cdot 3}=\frac{21}{25}=\mathrm{0,84}}\backslash displaystyle\; P\_\{\backslash overline\{V\}\}(\backslash overline\{R\})=\backslash frac\{P(\backslash overline\{V\}\backslash cap\backslash overline\{R\})\}\{P(\backslash overline\{V\})\}=\backslash frac\{\backslash frac\{63\}\{100\}\}\{\backslash frac\{3\}\{4\}\}=\backslash frac\{63\backslash cdot4\}\{100\backslash cdot3\}=\backslash frac\{21\}\{25\}=0\{,\}84$

$4242$% der Tüten, die als vegan gekennzeichnet sind, sind zusätzlich als zuckerreduziert gekennzeichnet.

Also: $P_V(R)=\mathrm{0,42}\Rightarrow P_V(\bar{R})=\mathrm{0,58}P\_V(R)=0\{,\}42\backslash Rightarrow\; P\_V(\backslash overline\{R\})=0\{,\}58$

Es gilt: $P(\bar{R})=P(V\cap \bar{R})+P(\bar{V}\cap \bar{R})P(\backslash overline\{R\})=P(V\backslash cap\; \backslash overline\{R\})+P(\backslash overline\{V\}\backslash cap\backslash overline\{R\})$

Laut Angabe sind insgesamt $6363$% der Tüten weder als vegan noch als zuckereduziert gekennzeichnet.

Also: $P(\bar{V}\cap \bar{R})=\mathrm{0,63}P(\backslash overline\{V\}\backslash cap\backslash overline\{R\})=0\{,\}63$

Weil $P(V\cap \bar{R})=P(V)\cdot P_V(\bar{R})=\frac{1}{4}\cdot \mathrm{0,58}=\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,58}=\mathrm{0,145}P(V\backslash cap\backslash overline\{R\})=\; P(V)\backslash cdot\; P\_V(\backslash overline\{R\})=\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash cdot\; 0\{,\}58=0\{,\}25\backslash cdot\; 0\{,\}58=0\{,\}145$

Somit hat man: $P(\bar{R})=\mathrm{0,145}+\mathrm{0,63}=\mathrm{0,775}P(\backslash overline\{R\})=0\{,\}145+0\{,\}63=0\{,\}775$

Wie kann man so eine Aufgabe systematisch lösen?

Stelle eine Vierfeldertafel auf und trage alles ein, was du weißt:

Rechne wie oben aus, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit von $VV$ gerade $\mathrm{0,25}0\{,\}25$ und daher die von $\bar{V}\backslash overline\{V\}$ $\mathrm{0,75}0\{,\}75$ beträgt.

Die Tatsache, dass $42\mathrm{\%}42\backslash \%$ der veganen Tüten zuckerreduziert ist (und damit $58\mathrm{\%}58\backslash \%$ nicht), gibt dir die Einträge in der $VV$-Spalte:

$P(V\cap R)=P(V)\cdot P_V(R)=\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,42}=\mathrm{0,105}P(V\backslash cap\; R)=P(V)\backslash cdot\; P\_V(R)=0\{,\}25\backslash cdot\; 0\{,\}42=0\{,\}105$ und

$P(V\cap \bar{R})=P(V)\cdot P_V(\bar{R})=\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,58}=\mathrm{0,145}P(V\backslash cap\; \backslash overline\{R\})=P(V)\backslash cdot\; P\_V(\backslash overline\{R\})=0\{,\}25\backslash cdot\; 0\{,\}58=0\{,\}145$

Jetzt sieht die Vierfeldertafel so aus:

Mit der weiteren Information, dass $63\mathrm{\%}63\backslash \%$ der Tüten weder vegan noch zuckerreduziert sind, hast du alle Informationen verarbeitet. Der Wert $P(\bar{V}\cap \bar{R})=\mathrm{0,63}P(\backslash overline\{V\}\backslash cap\backslash overline\{R\})=0\{,\}63$ wird eingetragen.

Danach kannst du sofort die zweite Zeile (die mit $\bar{R}\backslash overline\{R\}$) zusammenrechnen und durch Subtraktion den Wert von

$P(\bar{V}\cap R)=P(\bar{V})-P(\bar{V}\cap \bar{R})=\mathrm{0,75}-\mathrm{0,63}=\mathrm{0,12}P(\backslash overline\{V\}\backslash cap\; R)=P(\backslash overline\{V\})-P(\backslash overline\{V\}\backslash cap\; \backslash overline\{R\})=0\{,\}75-0\{,\}63=0\{,\}12$

ermitteln (diesen Wert brauchst du erst in Teil b) dieser Aufgabe):

Es ist also $P(\bar{R})=\mathrm{0,775.}P(\backslash overline\{R\})=0\{,\}775.$

Für Teil b) berechnest du nun

${\displaystyle P_{\bar{V}}(R)=\frac{P(\bar{V}\cap R)}{P(\bar{V})}=\frac{\mathrm{0,12}}{\mathrm{0,75}}=\mathrm{0,16.}}\backslash displaystyle\; P\_\{\backslash overline\{V\}\}(R)=\backslash frac\{P(\backslash overline\{V\}\backslash cap\; R)\}\{P(\backslash overline\{V\})\}=\backslash frac\{0\{,\}12\}\{0\{,\}75\}=0\{,\}16.$

Aufbau der Lösung mit Ereignisbäumen

Beginne mit der Skizze eines Ereignisbaums und unterscheide zuerst die Fälle $VV$ und $\bar{V}\backslash overline\{V\}$.

Wie vorhin kannst du die Wahrscheinlichkeiten von $VV$, $\bar{V}\backslash overline\{V\}$ und $\bar{V}\cap \bar{R}\backslash overline\{V\}\backslash cap\backslash overline\{R\}$ aus dem Aufgabentext übernehmen.

Genau wie oben berechnest du nun die Wahrscheinlichkeiten von $V\cap RV\backslash cap\; R$ und $V\cap \bar{R}V\backslash cap\backslash overline\{R\}$ aus den angegebene bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_V(R)P\_V(R)$ und $P_V(\bar{R})P\_V(\backslash overline\{R\})$.

Damit kannst du nun die Wahrscheinlichkeit von $\bar{R}\backslash overline\{R\}$ erhalten:

Weil $P_{\bar{V}}(R)=1-P_{\bar{V}}(\bar{R})\Rightarrow P_{\bar{V}}(R)=1-\mathrm{0,84}=\mathrm{0,16}=\frac{4}{25}P\_\{\backslash overline\{V\}\}(R)=1-P\_\{\backslash overline\{V\}\}(\backslash overline\{R\})\backslash Rightarrow\; P\_\{\backslash overline\{V\}\}(R)=1-0\{,\}84=0\{,\}16=\backslash frac\{4\}\{25\}$

Lösung mit Ereignisbaum

Beginne wieder mit dem Ereignisbaumaus Teil a), die relevanten Daten sind rot.

Jetzt kannst du durch Subtraktion die Wahrscheinlichkeit von $\bar{V}\cap R\backslash overline\{V\}\backslash cap\; R$ bestimmen.

Damit erhältst du die gesuchte relative Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle P_{\bar{V}}(R)=\frac{P(\bar{V}\cap R)}{P(\bar{V})}}\backslash displaystyle\; P\_\{\backslash overline\{V\}\}(R)=\backslash frac\{P(\backslash overline\{V\}\backslash cap\; R)\}\{P(\backslash overline\{V\})\}$.

Es gilt: $1-P_{\bar{V}}(R)=P_{\bar{V}}(\bar{R})1-P\_\{\backslash overline\{V\}\}(R)=P\_\{\backslash overline\{V\}\}(\backslash overline\{R\})$ . $P_{\bar{V}}(\bar{R})P\_\{\backslash overline\{V\}\}(\backslash overline\{R\})$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das nicht-zuckerreduzierte Fruchtgummi aus einer nicht-vegan gekennzeichneten Tüte stammt.