Der Anteil der nicht als vegan gekennzeichneten Tüten ist dreimal so groß wie der Anteil der Tüten, die als vegan gekennzeichnet sind.

Also: $\begin{array}{l}P(V)=p\Rightarrow P(\overline{V})=1-p=q\\ \end{array}$Es gilt: $p+q=1\wedge q=3\cdot p\Rightarrow q=\frac{3}{4}\wedge p=\frac{1}{4}$

Insgesamt sind $63$ % der Tüten weder als vegan noch als zuckerreduziert gekennzeichnet. Das bedeutet: $P(\overline{V}\cap \overline{R})=\mathrm{0,63}=\frac{63}{100}$

Im bedingten Wahrscheinlichkeitsraum gilt:

$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$

Damit hat man: $${\displaystyle P_{\overline{V}}(\overline{R})=\frac{P(\overline{V}\cap \overline{R})}{P(\overline{V})}=\frac{\frac{63}{100}}{\frac{3}{4}}=\frac{63\cdot 4}{100\cdot 3}=\frac{21}{25}=\mathrm{0,84}}$$

$42$% der Tüten, die als vegan gekennzeichnet sind, sind zusätzlich als zuckerreduziert gekennzeichnet.

Also: $P_V(R)=\mathrm{0,42}\Rightarrow P_V(\overline{R})=\mathrm{0,58}$

Es gilt: $P(\overline{R})=P(V\cap \overline{R})+P(\overline{V}\cap \overline{R})$

Laut Angabe sind insgesamt $63$% der Tüten weder als vegan noch als zuckereduziert gekennzeichnet.

Also: $P(\overline{V}\cap \overline{R})=\mathrm{0,63}$

Weil $P(V\cap \overline{R})=P(V)\cdot P_V(\overline{R})=\frac{1}{4}\cdot \mathrm{0,58}=\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,58}=\mathrm{0,145}$

Somit hat man: $P(\overline{R})=\mathrm{0,145}+\mathrm{0,63}=\mathrm{0,775}$

Wie kann man so eine Aufgabe systematisch lösen?

Stelle eine Vierfeldertafel auf und trage alles ein, was du weißt:

$\begin{array}{llll}& V& \overline{V}& \\ R& & & \\ \overline{R}& \phantom{\mathrm{0,145}}& \phantom{\mathrm{0,145}}& \\ & \mathrm{0,25}& \mathrm{0,75}& \end{array}$

Rechne wie oben aus, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit von $V$ gerade $\mathrm{0,25}$ und daher die von $\overline{V}$ $\mathrm{0,75}$ beträgt.

Die Tatsache, dass $42\%$ der veganen Tüten zuckerreduziert ist (und damit $58\%$ nicht), gibt dir die Einträge in der $V$-Spalte:

$P(V\cap R)=P(V)\cdot P_V(R)=\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,42}=\mathrm{0,105}$ und

$P(V\cap \overline{R})=P(V)\cdot P_V(\overline{R})=\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,58}=\mathrm{0,145}$

Jetzt sieht die Vierfeldertafel so aus:

$\begin{array}{llll}& V& \overline{V}& \\ R& \mathrm{0,105}& & \\ \overline{R}& \mathrm{0,145}& \phantom{\mathrm{0,145}}& \\ & \mathrm{0,25}& \mathrm{0,75}& \end{array}$

Mit der weiteren Information, dass $63\%$ der Tüten weder vegan noch zuckerreduziert sind, hast du alle Informationen verarbeitet. Der Wert $P(\overline{V}\cap \overline{R})=\mathrm{0,63}$ wird eingetragen.

Danach kannst du sofort die zweite Zeile (die mit $\overline{R}$) zusammenrechnen und durch Subtraktion den Wert von

$P(\overline{V}\cap R)=P(\overline{V})-P(\overline{V}\cap \overline{R})=\mathrm{0,75}-\mathrm{0,63}=\mathrm{0,12}$

ermitteln (diesen Wert brauchst du erst in Teil b) dieser Aufgabe):

$\begin{array}{llll}& V& \overline{V}& \\ R& \mathrm{0,105}& \mathrm{0,12}\phantom{0}& \\ \overline{R}& \mathrm{0,145}& \mathrm{0,63}& \mathrm{0,775}\\ & \mathrm{0,25}& \mathrm{0,75}& \end{array}$

Es ist also $P(\overline{R})=\mathrm{0,775.}$

Für Teil b) berechnest du nun

$${\displaystyle P_{\overline{V}}(R)=\frac{P(\overline{V}\cap R)}{P(\overline{V})}=\frac{\mathrm{0,12}}{\mathrm{0,75}}=\mathrm{0,16.}}$$

Aufbau der Lösung mit Ereignisbäumen

Beginne mit der Skizze eines Ereignisbaums und unterscheide zuerst die Fälle $V$ und $\overline{V}$.

Wie vorhin kannst du die Wahrscheinlichkeiten von $V$, $\overline{V}$ und $\overline{V}\cap \overline{R}$ aus dem Aufgabentext übernehmen.

Genau wie oben berechnest du nun die Wahrscheinlichkeiten von $V\cap R$ und $V\cap \overline{R}$ aus den angegebene bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_V(R)$ und $P_V(\overline{R})$.

Damit kannst du nun die Wahrscheinlichkeit von $\overline{R}$ erhalten:

Weil $P_{\overline{V}}(R)=1-P_{\overline{V}}(\overline{R})\Rightarrow P_{\overline{V}}(R)=1-\mathrm{0,84}=\mathrm{0,16}=\frac{4}{25}$

Lösung mit Ereignisbaum

Beginne wieder mit dem Ereignisbaumaus Teil a), die relevanten Daten sind rot.

Jetzt kannst du durch Subtraktion die Wahrscheinlichkeit von $\overline{V}\cap R$ bestimmen.

Damit erhältst du die gesuchte relative Wahrscheinlichkeit $${\displaystyle P_{\overline{V}}(R)=\frac{P(\overline{V}\cap R)}{P(\overline{V})}}$$.

Es gilt: $1-P_{\overline{V}}(R)=P_{\overline{V}}(\overline{R})$ . $P_{\overline{V}}(\overline{R})$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das nicht-zuckerreduzierte Fruchtgummi aus einer nicht-vegan gekennzeichneten Tüte stammt.