Das Süßwarenunternehmen produziert auch zuckerreduzierte und vegane Fruchtgummis und bringt diese in entsprechend gekennzeichneten Tüten in den Handel. Der Anteil der nicht als vegan gekennzeichneten Tüten ist dreimal so groß wie der Anteil der Tüten, die als vegan gekennzeichnet sind. % der Tüten, die als vegan gekennzeichnet sind, sind zusätzlich auch als zuckerreduziert gekennzeichnet. Insgesamt sind % der Tüten weder als vegan noch als zuckerreduziert gekennzeichnet. Betrachtet werden folgende Ereignisse:
V: „Eine zufällig ausgewählte Tüte ist als vegan gekennzeichnet.“
R: „Eine zufällig ausgewählte Tüte ist als zuckerreduziert gekennzeichnet.“
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses . (3P)
Der Anteil der nicht als vegan gekennzeichneten Tüten ist dreimal so groß wie der Anteil der Tüten, die als vegan gekennzeichnet sind.
Also: Es gilt:
Insgesamt sind % der Tüten weder als vegan noch als zuckerreduziert gekennzeichnet. Das bedeutet:
Im bedingten Wahrscheinlichkeitsraum gilt:
Damit hat man:
% der Tüten, die als vegan gekennzeichnet sind, sind zusätzlich als zuckerreduziert gekennzeichnet.
Also:
Es gilt:
Laut Angabe sind insgesamt % der Tüten weder als vegan noch als zuckereduziert gekennzeichnet.
Also:
Weil
Somit hat man:
Wie kann man so eine Aufgabe systematisch lösen?
Stelle eine Vierfeldertafel auf und trage alles ein, was du weißt:
Rechne wie oben aus, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit von gerade und daher die von beträgt.
Die Tatsache, dass der veganen Tüten zuckerreduziert ist (und damit nicht), gibt dir die Einträge in der -Spalte:
und
Jetzt sieht die Vierfeldertafel so aus:
Mit der weiteren Information, dass der Tüten weder vegan noch zuckerreduziert sind, hast du alle Informationen verarbeitet. Der Wert wird eingetragen.
Danach kannst du sofort die zweite Zeile (die mit ) zusammenrechnen und durch Subtraktion den Wert von
ermitteln (diesen Wert brauchst du erst in Teil b) dieser Aufgabe):
Es ist also
Für Teil b) berechnest du nun
Aufbau der Lösung mit Ereignisbäumen
Beginne mit der Skizze eines Ereignisbaums und unterscheide zuerst die Fälle und .
Wie vorhin kannst du die Wahrscheinlichkeiten von , und aus dem Aufgabentext übernehmen.
Genau wie oben berechnest du nun die Wahrscheinlichkeiten von und aus den angegebene bedingten Wahrscheinlichkeiten und .
Damit kannst du nun die Wahrscheinlichkeit von erhalten: