Der Anteil der nicht als vegan gekennzeichneten Tüten ist dreimal so groß wie der Anteil der Tüten, die als vegan gekennzeichnet sind.

Also: $P(V)=p\Rightarrow P(\overline{V})=1-p=q\\$Es gilt: $p+q=1\land q=3\cdot p\Rightarrow q=\frac{3}{4}\land p=\frac{1}{4}$

Insgesamt sind $63$ % der Tüten weder als vegan noch als zuckerreduziert gekennzeichnet. Das bedeutet: $P(\overline{V}\cap \overline{R})=0{,}63=\frac{63}{100}$

Im bedingten Wahrscheinlichkeitsraum gilt:

$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$

Damit hat man: $\displaystyle P_{\overline{V}}(\overline{R})=\frac{P(\overline{V}\cap\overline{R})}{P(\overline{V})}=\frac{\frac{63}{100}}{\frac{3}{4}}=\frac{63\cdot4}{100\cdot3}=\frac{21}{25}=0{,}84$

$42$% der Tüten, die als vegan gekennzeichnet sind, sind zusätzlich als zuckerreduziert gekennzeichnet.

Also: $P_V(R)=0{,}42\Rightarrow P_V(\overline{R})=0{,}58$

Es gilt: $P(\overline{R})=P(V\cap \overline{R})+P(\overline{V}\cap\overline{R})$

Laut Angabe sind insgesamt $63$% der Tüten weder als vegan noch als zuckereduziert gekennzeichnet.

Also: $P(\overline{V}\cap\overline{R})=0{,}63$

Weil $P(V\cap\overline{R})= P(V)\cdot P_V(\overline{R})=\frac{1}{4}\cdot 0{,}58=0{,}25\cdot 0{,}58=0{,}145$

Somit hat man: $P(\overline{R})=0{,}145+0{,}63=0{,}775$

Wie kann man so eine Aufgabe systematisch lösen?

Stelle eine Vierfeldertafel auf und trage alles ein, was du weißt:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l|ll|l} & V& \overline{V}& \\ \hline R & &&\\ \overline{R}&\hphantom{0{,}145}&\hphantom{0{,}145}&\\ \hline & 0{,}25&0{,}75 \end{array}$

Rechne wie oben aus, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit von $V$ gerade $0{,}25$ und daher die von $\overline{V}$ $0{,}75$ beträgt.

Die Tatsache, dass $42\%$ der veganen Tüten zuckerreduziert ist (und damit $58\%$ nicht), gibt dir die Einträge in der $V$-Spalte:

$P(V\cap R)=P(V)\cdot P_V(R)=0{,}25\cdot 0{,}42=0{,}105$ und

$P(V\cap \overline{R})=P(V)\cdot P_V(\overline{R})=0{,}25\cdot 0{,}58=0{,}145$

Jetzt sieht die Vierfeldertafel so aus:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l|ll|l} & V& \overline{V}& \\ \hline R &0{,}105 &&\\ \overline{R}&0{,}145&\hphantom{0{,}145}&\\ \hline & 0{,}25&0{,}75 \end{array}$

Mit der weiteren Information, dass $63\%$ der Tüten weder vegan noch zuckerreduziert sind, hast du alle Informationen verarbeitet. Der Wert $P(\overline{V}\cap\overline{R})=0{,}63$ wird eingetragen.

Danach kannst du sofort die zweite Zeile (die mit $\overline{R}$) zusammenrechnen und durch Subtraktion den Wert von

$P(\overline{V}\cap R)=P(\overline{V})-P(\overline{V}\cap \overline{R})=0{,}75-0{,}63=0{,}12$

ermitteln (diesen Wert brauchst du erst in Teil b) dieser Aufgabe):

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l|ll|l} & V& \overline{V}& \\ \hline R &0{,}105 &0{,}12\hphantom{0}&\\ \overline{R}&0{,}145&0{,}63&0{,}775\\ \hline & 0{,}25&0{,}75 \end{array}$

Es ist also $P(\overline{R})=0{,}775.$

Für Teil b) berechnest du nun

$\displaystyle P_{\overline{V}}(R)=\frac{P(\overline{V}\cap R)}{P(\overline{V})}=\frac{0{,}12}{0{,}75}=0{,}16.$

Aufbau der Lösung mit Ereignisbäumen

Beginne mit der Skizze eines Ereignisbaums und unterscheide zuerst die Fälle $V$ und $\overline{V}$.

Wie vorhin kannst du die Wahrscheinlichkeiten von $V$, $\overline{V}$ und $\overline{V}\cap\overline{R}$ aus dem Aufgabentext übernehmen.

Genau wie oben berechnest du nun die Wahrscheinlichkeiten von $V\cap R$ und $V\cap\overline{R}$ aus den angegebene bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_V(R)$ und $P_V(\overline{R})$.

Damit kannst du nun die Wahrscheinlichkeit von $\overline{R}$ erhalten:

Weil $P_{\overline{V}}(R)=1-P_{\overline{V}}(\overline{R})\Rightarrow P_{\overline{V}}(R)=1-0{,}84=0{,}16=\frac{4}{25}$

Lösung mit Ereignisbaum

Beginne wieder mit dem Ereignisbaumaus Teil a), die relevanten Daten sind rot.

Jetzt kannst du durch Subtraktion die Wahrscheinlichkeit von $\overline{V}\cap R$ bestimmen.

Damit erhältst du die gesuchte relative Wahrscheinlichkeit $\displaystyle P_{\overline{V}}(R)=\frac{P(\overline{V}\cap R)}{P(\overline{V})}$.

Es gilt: $1-P_{\overline{V}}(R)=P_{\overline{V}}(\overline{R})$ . $P_{\overline{V}}(\overline{R})$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das nicht-zuckerreduzierte Fruchtgummi aus einer nicht-vegan gekennzeichneten Tüte stammt.