Aufgaben zur Cramerschen Regel

Mit diesen Aufgaben lernst du, die Lösung von Gleichungssystemen mit der Cramerschen Regel zu bestimmen.

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Löse die Gleichungssysteme mit der Cramerschen Regel.
1. $\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{c}2x+4y-5z=11\\3x+3y+2z=17\\-4x-5y+6z=-17\end{array}\right.$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Cramersche Regel
  Wandle das lineare Gleichungssystem in eine erweiterte Koeffizientenmatrix um.
  $\def\arraystretch{1.25} (\mathrm A\left|\mathrm b)=\right.\left(\begin{array}{ccc}2&4&-5\\3&3&2\\-4&-5&6\end{array}\left|\begin{array}{c}11\\17\\-17\end{array}\right.\right)$
  Tausche nun in der Matrix $A$ die Spalte von $x$ durch die Ergebnisspalte aus, um die Matrix ${\mathrm A}_\mathrm x$ zu erhalten. Berechne die Determinante dieser Matrix.
  ${\mathrm{detA}}_\mathrm x=\begin{vmatrix}11&4&-5\\17&3&2\\-17&-5&6\end{vmatrix}=-66$
  Mache dies auch für ${\mathrm A}_\mathrm y$ und ${\mathrm A}_\mathrm z$ , und berechne die Determinanten jener Matrizen.
  ${\mathrm{detA}}_\mathrm y=\begin{vmatrix}2&11&-5\\3&17&2\\-4&-17&6\end{vmatrix}=-99$
  ${\mathrm{detA}}_\mathrm z=\begin{vmatrix}2&4&11\\3&3&17\\-4&-5&-17\end{vmatrix}=-33$
  Berechne nun noch die Determinante von $A$ .
  $\mathrm{detA}=\begin{vmatrix}2&4&-5\\3&3&2\\-4&-5&6\end{vmatrix}=-33$
  Teile nun die Determinante von ${\mathrm A}_\mathrm x$ , ${\mathrm A}_\mathrm y$ bzw. ${\mathrm A}_\mathrm z$ durch die Determinante von $A$ . Erhalte so $x$ , $y$ bzw. $z$ .
  $\mathrm x=\dfrac{{\mathrm{detA}}_\mathrm x}{\mathrm{detA}}=2$
  $\mathrm y=\dfrac{{\mathrm{detA}}_\mathrm y}{\mathrm{detA}}=3$
  $\mathrm z=\dfrac{{\mathrm{detA}}_\mathrm z}{\mathrm{detA}}=1$
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2. $\def\arraystretch{1.25} \left|\begin{array}{c}2\mathrm x+\mathrm y+\mathrm z=2\\3\mathrm x-2\mathrm y+\mathrm z=-2\\4\mathrm x-2\mathrm y+\mathrm z=-1{,}5\end{array}\right.$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Cramersche Regel
  Wandle das lineare Gleichungssystem in eine erweiterte Koeffizientenmatrix um.
  $\def\arraystretch{1.25} (\mathrm A\left|\mathrm b)=\right.\left(\begin{array}{ccc}2&1&1\\3&-2&1\\4&-2&1\end{array}\left|\begin{array}{c}2\\-2\\-1{,}5\end{array}\right.\right)$
  Tausche nun in der Matrix $A$ die Spalte von $x$ durch die Ergebnisspalte aus, um die Matrix ${\mathrm A}_\mathrm x$ zu erhalten. Berechne die Determinante dieser Matrix.
  ${\mathrm{detA}}_\mathrm x=\begin{vmatrix}2&1&1\\-2&-2&1\\-1{,}5&-2&1\end{vmatrix}=1{,}5$
  Mache dies auch für ${\mathrm A}_\mathrm y$ und ${\mathrm A}_\mathrm z$ , und berechne die Determinanten jener Matrizen.
  ${\mathrm{detA}}_\mathrm y=\begin{vmatrix}2&2&1\\3&-2&1\\4&-1{,}5&1\end{vmatrix}=4{,}5$
  ${\mathrm{detA}}_\mathrm z=\begin{vmatrix}2&1&2\\3&-2&-2\\4&-2&-1{,}5\end{vmatrix}=-1{,}5$
  Nun berechne noch die Determinante von $A$ .
  $\det A=\begin{vmatrix}2&1&1\\3&-2&1\\4&-2&1\end{vmatrix}=3$
  Teile nun die Determinante von ${\mathrm A}_\mathrm x$ , ${\mathrm A}_\mathrm y$ bzw. ${\mathrm A}_\mathrm z$ durch die Determinante von $A$ , um $x$ , $y$ und $z$ zu erhalten.
  $\mathrm x=\dfrac{{\mathrm{detA}}_\mathrm x}{\mathrm{detA}}=0{,}5$
  $\mathrm y=\dfrac{{\mathrm{detA}}_\mathrm y}{\mathrm{detA}}=1{,}5$
  $\mathrm z=\dfrac{{\mathrm{detA}}_\mathrm z}{\mathrm{detA}}=-0{,}5$
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