Aufgaben zur Cramerschen Regel

Wandle das lineare Gleichungssystem in eine erweiterte Koeffizientenmatrix um.

$\def\arraystretch{1.25} (\mathrm A\left|\mathrm b)=\right.\left(\begin{array}{ccc}2&4&-5\\3&3&2\\-4&-5&6\end{array}\left|\begin{array}{c}11\\17\\-17\end{array}\right.\right)$

Tausche nun in der Matrix $A$ die Spalte von $x$ durch die Ergebnisspalte aus, um die Matrix ${\mathrm A}_\mathrm x$ zu erhalten. Berechne die Determinante dieser Matrix.

${\mathrm{detA}}_\mathrm x=\begin{vmatrix}11&4&-5\\17&3&2\\-17&-5&6\end{vmatrix}=-66$

Mache dies auch für ${\mathrm A}_\mathrm y$ und ${\mathrm A}_\mathrm z$, und berechne die Determinanten jener Matrizen.

${\mathrm{detA}}_\mathrm y=\begin{vmatrix}2&11&-5\\3&17&2\\-4&-17&6\end{vmatrix}=-99$

${\mathrm{detA}}_\mathrm z=\begin{vmatrix}2&4&11\\3&3&17\\-4&-5&-17\end{vmatrix}=-33$

Berechne nun noch die Determinante von $A$.

$\mathrm{detA}=\begin{vmatrix}2&4&-5\\3&3&2\\-4&-5&6\end{vmatrix}=-33$

Teile nun die Determinante von ${\mathrm A}_\mathrm x$, ${\mathrm A}_\mathrm y$ bzw. ${\mathrm A}_\mathrm z$ durch die Determinante von $A$. Erhalte so $x$,$y$ bzw. $z$.

Wandle das lineare Gleichungssystem in eine erweiterte Koeffizientenmatrix um.

$\def\arraystretch{1.25} (\mathrm A\left|\mathrm b)=\right.\left(\begin{array}{ccc}2&1&1\\3&-2&1\\4&-2&1\end{array}\left|\begin{array}{c}2\\-2\\-1{,}5\end{array}\right.\right)$

Tausche nun in der Matrix $A$ die Spalte von $x$ durch die Ergebnisspalte aus, um die Matrix ${\mathrm A}_\mathrm x$ zu erhalten. Berechne die Determinante dieser Matrix.

${\mathrm{detA}}_\mathrm x=\begin{vmatrix}2&1&1\\-2&-2&1\\-1{,}5&-2&1\end{vmatrix}=1{,}5$

Mache dies auch für ${\mathrm A}_\mathrm y$ und ${\mathrm A}_\mathrm z$, und berechne die Determinanten jener Matrizen.

${\mathrm{detA}}_\mathrm y=\begin{vmatrix}2&2&1\\3&-2&1\\4&-1{,}5&1\end{vmatrix}=4{,}5$

${\mathrm{detA}}_\mathrm z=\begin{vmatrix}2&1&2\\3&-2&-2\\4&-2&-1{,}5\end{vmatrix}=-1{,}5$

Nun berechne noch die Determinante von $A$.

$\det A=\begin{vmatrix}2&1&1\\3&-2&1\\4&-2&1\end{vmatrix}=3$

Teile nun die Determinante von ${\mathrm A}_\mathrm x$, ${\mathrm A}_\mathrm y$ bzw. ${\mathrm A}_\mathrm z$ durch die Determinante von $A$, um $x$, $y$ und $z$ zu erhalten.