$\ a.)\ V_{1}{\text{Pk.}}=\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3\quad\Rightarrow\quad V_{1}{\text{Pk.}}=\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot(1{,}5\ cm)^3$

$\hspace{5.5mm}\underline{V_{1}{\text{Pk.}}=14{,}13\ cm^3}$

$\ b.)\ V_{4}{\text{Pk.}}=\ 4\cdot V_{1}{\text{Pk.}}\quad\Rightarrow\quad\ V_{4}{\text{Pk.}}=4\cdot 14{,}13\ cm^3$

$\hspace{5.5mm}\underline{V_{4}{\text{Pk.}}=56{,}52\ cm^3}$

$\ c.)\ V_\text{Zyl}=r^2\cdot\pi\cdot h\ \Rightarrow\ V_\text{Zyl}= (1{,}6\ cm)^2\cdot3{,}14\cdot12{,}2\ cm$

$\hspace{5.5mm} \underline{V_\text{Zyl}=98{,}07\ cm^3}$

$\ d.)\ V_\text{Luft}=V_\text{Zyl}-V_{4}{\text{Pk.}}\ \Rightarrow\ V_\text{Luft}=98{,}07\ cm^3-56{,}52\ cm^3$

$\hspace{5.5mm} \underline{V_\text{Luft}=41{,}55\ cm^3}$

$\ e.)\ p_\text{Luft[\%]}=\dfrac{V_{4}\text{Pk.}}{V_\text{Zyl}}\cdot100\ \Rightarrow\ p_\text{Luft[\%]}=\dfrac{41{,}55\ cm^3}{98{,}07\ cm^3}\cdot 100$

$\hspace{5.5mm}\boxed{p_\text{Luft[\%]}=42{,}4\%}$

Der Anteil von Luft in der Verpackung beträgt, $\ 42{,}4\%$

Hinweis: in dieser Rechnung wurde mit dem Näherungswert $3{,}14$ für $\pi$ gerechnet.

Wenn du am Taschenrechner die $\pi$-Taste benutzt, erhältst du etwas abweichende Werte bei a) bis d):

$V_1\text{Pk.}=14{,}14\,\text{cm}^3$, $V_4\text{Pk.}=56{,}55\, \text{cm}^3$, $V_\text{Zyl}=98{,}12\,\text{cm}^3$ und $V_\text{Luft}=41{,}57\, \text{cm}^3$. Der Prozentwert in e) ist unverändert.

Die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts einer Kugel lautet:

$\ O_{\text{Kugel}}=4\cdot\pi \cdot r^2$

Setze den Radius der Kugel in die Formel ein$\ \Rightarrow\ r=\dfrac{3\ cm}{2}$

$\ O_{\text{Kugel}}=4\cdot3{,}14 \cdot 2{,}25\ cm^2$

$\ O_{\text{Kugel}}=28{,}26\ cm^2$

Für eine Pralinenkugel benötigt man $\ 28{,}26\ cm^2\$Blattgold.

$V=753{\ mm}^3$; die Dichte von Gold: $\ \ p=\dfrac{19{,}3\ g}{cm^3}$

Rechne das Volumen der Goldkugel von $mm^3$ in $cm^3$ um.

$\ 1\ cm\ =\ 10\ mm\quad\Rightarrow\quad 1\ cm^3=1000\ mm^3$

$753\ mm^3=\dfrac{753}{1000}\ cm^3=0{,}753\ cm^3$

$\ m=V\cdot p\quad\Rightarrow\quad m=0{,}753\ \cancel{cm^3}\cdot\dfrac{19{,}3\ g}{\cancel{cm^3}}$

$\ m=14{,}5\ g$

Die Masse der Goldkugel beträgt$\ 14{,}5\ g.$