Aufgabengruppe I

Der Scheitel der Parabel $p_{\tiny 1}\$ist laut Angabe: $\ S_{\tiny 1}(-4|1)\$

Die Scheitelform lautet:

$\ f\left(x\right)=a(x-d)^2+e$

Setze die entsprechenden Werte des Scheitels$\ S_{\tiny 1}$ ein.

$p_{\tiny 1}:y\ =\ (x+4)^2+1$

die Normalform ist dann:

$p_{\tiny 1}:y\ =\ x^2+8x+17$

Die allgemeine Form oder auch Hauptform einer quadratischen Funktion lautet:

$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$

Setze die gegebenen Punktepaare in die Funktionsgleichung ein.

Da es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel handelt ist der Vorfaktor $a=-1$

$\text{Aus }A(-4|1):\ \ \ \ (I) \ \ 1= -1\cdot (-4)^2+b\cdot (-4)+c$

$\text{Aus } B\hspace{1.5mm}(0|1)\hspace{1.5mm}:\ (II)\ \ \ 1= -1\cdot (0)^2+b\cdot (0)+c\quad\Rightarrow\quad c=1$

$\hspace{74mm}$setze $c$ in $(I)$ ein und berechne $b$

Die Normalform von $p_{2}\$lautet:

$p_{2}:y=-x^2-4x+1\$

Umformen der allgemeinen Form von $\ p_{2}\$in die Scheitelpunktform:

$p_{2}:y=-x^2-4x+1$

$p_{2}:y=-(x+4x-1)$

$p_{2}:y=-(x+2)^2+4+1$

$p_{2}:y=-(x+2)^2+5$

$\underline{\underline{S_{2}(-2|5)}}$

oder, du kannst auch gleich die Scheitelpunktform ermitteln:

Die Funktionswerte von $A$ und $B$ sind gleich nämlich: $\ \ y_{\tiny{A}}=y_{\tiny{B}}=1$

d.h. es gilt:$\ x_{\tiny{S}}=\dfrac{x_{\tiny{A}}+x{\tiny{B}}}{2}\quad\Rightarrow\quad x_{\tiny{S}}=\dfrac{-4+0}{2}\quad\Rightarrow\quad \boxed{x_{\tiny{S}}=-2}$

setze $x_{\tiny{S}}\$und z.B. $x_{\tiny{A}}\$in die Scheitelpunktform$\ (x-x_{\tiny{S}})^2+y_{\tiny{S}}\$ ein und berechne $\ y_{\tiny{S}}$.

$\hspace{10mm}-(-4+2)^2+y_{\tiny{S}}=1\quad\Rightarrow\quad y_{\tiny{S}}=1+4\quad\Rightarrow\quad \boxed{y_{\tiny{S}}=5}$

Die Scheitelpunkform lautet dann: $\ p_{2}:y=-(x+2)^2+5\quad\Rightarrow\quad \underline{\underline{S_{2}(-2|5)}}$

$\text{Koordinaten der Schnittpunkte:}\ \hspace{2mm}\boxed{Q\ (-4|1)}\hspace{4mm}\boxed{R\ (-2|5)}$

Berechne die Schnittpunkte $M$ und $N$ der Normalparabel$\ \ p_3:$ $\ y=x^2+2x-2$

mit der Normalparabel $p_4: y = –x^2 – 2x + 4$ , indem du die Funktionsterme gleichsetzt und diese Gleichung anschließend nach $x$ auflöst.

Löse jetzt die Quadratische Gleichung z.B. mit der Mitternachtsformel

$x_{1{,}2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\qquad\Rightarrow\ x_{1{,}2}=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1}$

$\hspace{4.8cm}x_{1{,}2}=\dfrac{-2\pm\sqrt{16}}{2\cdot1}$

$\hspace{4.8cm}x_{1{,}2}=\dfrac{-2\pm{4}}{2\cdot1}\ =\ -1\pm2$

$x_1\ =\ -3$

$x_2\ =\ \ \ \ 1$

Setze $x_1$ und$\ x_2$ in z.B. $\ p_3: y\ =\ x^2+2x-2\$ ein und bestimme $y_1$ und$\ y_2$.

Du kannst $x_1\$und$\ x_2\$auch in $p_4:y=-x^2-2x+4$ einsetzen.

$y_1\ =\ 1\cdot(-3)^2+2\cdot(-3)-2\ \quad\Rightarrow\quad y_{1}=9-8\quad\Rightarrow\quad M\ (-3|1)$

$y_{2}\ =\ 1\cdot(1)^2+2\cdot1-2\hspace{12.5mm}\Rightarrow\quad y_{2}=1+0\quad\Rightarrow\quad N\ (1|1)$

Der Neupreis des Autos beträgt $\ 37450\ €.$

Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:

$\hspace{35mm}N\left(t\right)=N_0\cdot(1-p)^t$

$N(t)\ =\ 25000\quad N_0=37450\quad p\ =\ \dfrac{12{,}7\%}{100\%}=0{,}127\ \$setze die Werte in die Formel ein.

$\hspace{35mm}25000=37450\cdot(1-0{,}127)^{t}$

$\hspace{35mm}\dfrac{25000}{37450}=0{,}873^{t}$

$\hspace{35mm}0{,}873^{t}=\dfrac{25000}{37450}$

Berechne $\text{t}$ mit Hilfe des Logarithmus.

$\hspace{30mm}t=\log_{0{,}873}\left(\dfrac{25000}{37450}\right)$

$\hspace{30mm}t\ =\ \dfrac{lg\ 25000-lg\ 37450}{lg\ 0{,}873}\ \Rightarrow\ t\ \approx\ \dfrac{-0{,}176}{-0{,}059}\ \Rightarrow\ t\ \approx\ 3\ \text{Jahre}$

Nach ungefähr $\ 3\$ Jahren verringert sich der Wert des Autos von $\ 37500\ €\$ auf $\ 25000\ €$.

Wert des Neuwagens nach $\ 8\$ Jahren: $\ 9000\ €$

Die Formel fur das exponentielle Wachstum lautet:

$\hspace{4cm}N\left(t\right)=N_0\cdot(1-p)^t$

$N(t)\ =\ 9000\qquad N_0=37450\qquad t\ =\ 8\ \text{Jahre}\qquad$setze die Werte in die Formel ein.

$\hspace{4cm}9000=37450\cdot(1-p)^{8}$

$\hspace{4cm}\dfrac{9000}{37450}=(1-p)^{8}$

$\hspace{4cm}(1-p)^{8}=\dfrac{9000}{37450}$

$\hspace{4cm}(1-p)=\sqrt[\scriptsize{8}]{\dfrac{9000}{37450}}$

$\hspace{3cm}1-p=0{,}837\quad\Rightarrow\quad -p=0{,}837-1$

$\hspace{50mm}p\approx0{,}163$

Der Wertverlust pro Jahr beträgt ungefähr$\ \boxed{16{,}3\%}$

Die Formel für den exponentiellen Zerfall lautet:

$\hspace{4cm}N\left(t\right)=N_0\cdot(1-p)^t$

$N_0\ =\ 37450\quad p_{1}\ =\ 25\%\ \ t_{1}\ =\ 1\ \text{Jahre}\quad \\\hspace{22mm}p_{2}\ =\ 18\%\ \ t_{2}\ =\ 1\ \text{Jahre}\quad \\\hspace{22mm}p_{3}\ =\ \ \ 9\%\ \ t_{3}\ =\ 4\ \text{Jahre}$

Berechne den Wert des Autos nach 6 Jahren.

$\ N\left(6\right)=37450\cdot(1-0{,}25)^1\cdot(1-0{,}18)^1 \cdot(1-0{,}09)^4$

$\ N\left(6\right)=37450\cdot0{,}75^1\cdot0{,}82^1\cdot0{,}91^4$

$\ N\left(6\right)=37450\cdot0{,}421736\\\ N\left(6\right)\approx15794\ €$

Nach $6$ Jahren beträgt der Wert des Autos noch ungefähr $15794$ Euro.

Die allgemeine Geradengleichung lautet:$\quad y=\textcolor{ff6600}{m}\cdot x+\textcolor{009999}{t}$

Die Steigung der Geraden ist bekannt: $\ m_1=\dfrac{3}{4}$

Setze die Koordinaten des Punkts $A$ in die Geradengleichung ein, und berechne den$\\ y\$ - Achsenabschnitt $\ t.\$

$\dfrac{3}{4}\cdot4+t=4{,}5\quad\Rightarrow\quad t=4{,}5-3\quad\Rightarrow\quad t=1{,}5\$

Bestimme die Funktionsgleichung von$\ g_1\$indem du$\ m\$und$\ t \$in die allgemeine Geradengleichung einsetzst.

$\ g_1:y=\dfrac{3}{4}x+1{,}5$

Berechne die$\ x \$Koordinate der Nullstelle $N$ der Geraden $g_{2}$.

Setze$\ g_{2}=0\$ und berechne$\ x$.

Berechne die fehlende y-Koordinate des Punktes$\ P.\$

$\ y=-2{,}5x-7{,}5\$

setze die $x$-Koordinate von$\ P\$in die Geradengleichung der Geraden$\ g_2\$ein.

$\hspace{5mm} y=-2{,}5\cdot (-4)-7{,}5\ \quad\Rightarrow\quad y=10-7{,}5\\ \ \hspace{42.5mm}\Rightarrow\quad \boxed{y=2{,}5}$

Aufstellen der Geradengleichung

Da die Gerade $g_4\$senkrecht auf der Geraden$\ g_{3}\$steht, gilt:

$\ m_{4}\cdot\ m_{3}\ =-1\quad\Rightarrow\quad\ m_{4}\ =\dfrac{-1}{m_3}\quad\Rightarrow\quad m_{4}\ =\dfrac{-1}{0{,}25}$

$\ m_4=-4$

Die allgemeine Form der Geradengleichung lautet:

$\hspace{51mm}y\ =\ mx\ +\ t$

Setze$\ m_{4}\$und die Koordinaten des Punktes $C$ in die Gleichung ein.

$\ -2\ =\ (-4)\cdot 4{,}5\ +\ t_4\quad\Rightarrow\quad t_4\ =\ 16$

Die Funktionsgleichung der Geraden $g_{4}\$lautet:

$\ g_{4}:y\ =\ -4x\ +\ 16$

Berechnung des Schnittpunktes $D$.

Stelle die Geradengleichung $\ g_{5}\$nach $\ y\$um und setze $g_{3}=g_{5}$.

$g_5:14–3y = 3{,}75x–7\ \Rightarrow\ -3y=3{,}75x-21\ \Rightarrow\ y=-1{,}25x+7$

$g_5:y=-1{,}25x+7$

Setze $x=2\$in $g_3\$oder$\ g_5\$ein und berechne $y.$

$x$ eingesetzt in $g_3\$ergibt:

$\ 0{,}25\cdot2+4=y\quad\Rightarrow\quad y=4{,}5$

Die Koordinaten des Schnittpunktes sind dann:

$D(2|4{,}5)$

Die allgemeine Geradengleichung lautet:$\quad y=\textcolor{ff6600}{m}\cdot x+\textcolor{009999}{t}$

Setze die Koordinaten der Punkte$\ E\$und $F$ in die Geradengleichung ein.

$(E):\hspace{2.5mm}4{,}5m\ +\ t\ =\ -2$

$(F): -1{,}5m\ +\ t\ =\ \ \ \ 6\quad\Rightarrow\quad\ t\ =\ 6+1{,}5m\$

Setze $m$ in$(F)$ ein und berechne $t$.

$t\ =\ 6+1{,}5\cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)\quad\Rightarrow\quad t\ =\ 4$

Die Funktionsgleichung der Geraden $g_6\$ lautet:

$g_6:\ y=-\dfrac{4}{3}x+4$

$\ a.)\ V_{1}{\text{Pk.}}=\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3\quad\Rightarrow\quad V_{1}{\text{Pk.}}=\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot(1{,}5\ cm)^3$

$\hspace{5.5mm}\underline{V_{1}{\text{Pk.}}=14{,}13\ cm^3}$

$\ b.)\ V_{4}{\text{Pk.}}=\ 4\cdot V_{1}{\text{Pk.}}\quad\Rightarrow\quad\ V_{4}{\text{Pk.}}=4\cdot 14{,}13\ cm^3$

$\hspace{5.5mm}\underline{V_{4}{\text{Pk.}}=56{,}52\ cm^3}$

$\ c.)\ V_\text{Zyl}=r^2\cdot\pi\cdot h\ \Rightarrow\ V_\text{Zyl}= (1{,}6\ cm)^2\cdot3{,}14\cdot12{,}2\ cm$

$\hspace{5.5mm} \underline{V_\text{Zyl}=98{,}07\ cm^3}$

$\ d.)\ V_\text{Luft}=V_\text{Zyl}-V_{4}{\text{Pk.}}\ \Rightarrow\ V_\text{Luft}=98{,}07\ cm^3-56{,}52\ cm^3$

$\hspace{5.5mm} \underline{V_\text{Luft}=41{,}55\ cm^3}$

$\ e.)\ p_\text{Luft[\%]}=\dfrac{V_{4}\text{Pk.}}{V_\text{Zyl}}\cdot100\ \Rightarrow\ p_\text{Luft[\%]}=\dfrac{41{,}55\ cm^3}{98{,}07\ cm^3}\cdot 100$

$\hspace{5.5mm}\boxed{p_\text{Luft[\%]}=42{,}4\%}$

Der Anteil von Luft in der Verpackung beträgt, $\ 42{,}4\%$

Hinweis: in dieser Rechnung wurde mit dem Näherungswert $3{,}14$ für $\pi$ gerechnet.

Wenn du am Taschenrechner die $\pi$-Taste benutzt, erhältst du etwas abweichende Werte bei a) bis d):

$V_1\text{Pk.}=14{,}14\,\text{cm}^3$, $V_4\text{Pk.}=56{,}55\, \text{cm}^3$, $V_\text{Zyl}=98{,}12\,\text{cm}^3$ und $V_\text{Luft}=41{,}57\, \text{cm}^3$. Der Prozentwert in e) ist unverändert.

Die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts einer Kugel lautet:

$\ O_{\text{Kugel}}=4\cdot\pi \cdot r^2$

Setze den Radius der Kugel in die Formel ein$\ \Rightarrow\ r=\dfrac{3\ cm}{2}$

$\ O_{\text{Kugel}}=4\cdot3{,}14 \cdot 2{,}25\ cm^2$

$\ O_{\text{Kugel}}=28{,}26\ cm^2$

Für eine Pralinenkugel benötigt man $\ 28{,}26\ cm^2\$Blattgold.

$V=753{\ mm}^3$; die Dichte von Gold: $\ \ p=\dfrac{19{,}3\ g}{cm^3}$

Rechne das Volumen der Goldkugel von $mm^3$ in $cm^3$ um.

$\ 1\ cm\ =\ 10\ mm\quad\Rightarrow\quad 1\ cm^3=1000\ mm^3$

$753\ mm^3=\dfrac{753}{1000}\ cm^3=0{,}753\ cm^3$

$\ m=V\cdot p\quad\Rightarrow\quad m=0{,}753\ \cancel{cm^3}\cdot\dfrac{19{,}3\ g}{\cancel{cm^3}}$

$\ m=14{,}5\ g$

Die Masse der Goldkugel beträgt$\ 14{,}5\ g.$