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Aufgabengruppe I

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF. 

(Kleine Änderungen der Formulierung aufgrund der Umwandlung in ein digitales Medium sind kursiv geschrieben.)

  1. 1

    Lösen Sie die folgenden Aufgaben:

    1. Ermitteln Sie rechnerisch die Funktionsgleichung der nach oben geöffneten Normalparabel p1p_1 mit dem Scheitelpunkt S1(41)S_1 (–4 | 1) in der Normalform.

    2. Die nach unten geöffnete Normalparabel p2p_2 geht durch die Punkte A(41)A (–4 | 1) und B(01)B (0 | 1). Ermitteln Sie rechnerisch die Funktionsgleichung von p2p_2 in der Scheitelpunktform und geben Sie den Scheitelpunkt S2S_2 an.

    3. Bestimmen Sie zeichnerisch die Koordinaten der Schnittpunkte QQ und RR der beiden Normalparabeln p1p_1 und p2p_2 in einem Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 cm. Geben Sie QQ und R R an.

    4. Die Normalparabeln p3:y=x2+2x2p_3: y = x^2 + 2x – 2 sowie p4:y=x22x+4p_4: y = –x^2 – 2x + 4 schneiden sich in den Punkten MM und NN. Berechnen Sie die Koordinaten von MM und NN und geben Sie beide Punkte an.

  2. 2

    Der Neupreis eines Autos beträgt 37450 €.

    1. Berechnen Sie, in wie vielen Jahren sich der Wert dieses Autos auf 25000 € verringert, wenn man von einem jährlich gleichbleibenden prozentualen Wertverlust von 12,7 % ausgeht.

      Jahre
    2. Der Neuwagen soll nach acht Jahren als Gebrauchtwagen für 9000 € verkauft werden. Bestimmen Sie für diesen Fall den Wertverlust pro Jahr in Prozent, unter der Annahme, dass dieser über die Jahre hinweg gleich bleibt.

      %
    3. Tatsächlich ist der Wertverlust aber nicht gleichbleibend. Im ersten Jahr beträgt er 25 %, im zweiten Jahr 18 % und in den darauffolgenden vier Jahren jeweils 9%. Ermitteln Sie den Wert des Autos nach diesen 6 Jahren.


  3. 3

    Die folgende Abbildung zeigt eine Figur, bei der gilt: AD=8cm\overline AD = 8 cm; α=25°\alpha = 25°; AADEF=72cm2A_{ADEF} = 72 cm^2

    Bild

    Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

    cm²
  4. 4

    Vereinfachen Sie den unten stehenden Term soweit wie möglich. Es gilt: x;y;z0x; y; z ≠ 0

  5. 5

    Lösen Sie die folgenden Aufgaben.

    1. Die Gerade g1g_1 verläuft durch den Punkt A(44,5)A (4 | 4{,}5) und hat die Steigung m1=34m_1=\dfrac{3}{4}. Bestimmen Sie rechnerisch die Funktionsgleichung von g1g_1.

    2. Berechnen Sie die x-Koordinate der Nullstelle NN der Gerade g2:y=2,5x7,5.g_2: y = –2{,}5x – 7{,}5.

      =x
    3. Der Punkt P(4y)P (–4 | y) liegt auf g2g_2. Berechnen Sie die fehlende y-Koordinate.

      =y
    4. Die Gerade g4g_4 durch den Punkt C(4,52)C (4{,}5 | –2) steht senkrecht auf der Geraden

      g3:y=0,25x+4 g_3: y = 0{,}25x + 4. Ermitteln Sie rechnerisch die Funktionsgleichung von g4g_4.

    5. Die Gerade g5g_5 mit der Funktionsgleichung 143y=3,75x714 – 3y = 3{,}75x – 7 schneidet die Gerade g3g_3 im Punkt DD. Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunkts DD.

    6. Ermitteln Sie rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden g6g_6, auf der die Punkte E(4,52)E (4{,}5 | –2) und F(1,56)F (–1{,}5 | 6) liegen.

    7. Zeichnen Sie die Geraden g2g_2, g3g_3 und g6g_6 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 cm.

  6. 6

    Gegeben ist folgende Gleichung:

    Geben Sie die Definitionsmenge an, lösen Sie die Gleichung nach xx auf und bestimmen Sie die Lösungsmenge.

  7. 7

    In einer Firma werden vier gleich große Pralinenkugeln, die vollständig mit Marzipan gefüllt sind, mit einem Durchmesser von jeweils 3 cm übereinander in eine Schachtel verpackt.

    1. Die zylinderförmige Verpackung hat eine Höhe von 12,2cm12{,}2 cm und einen Innendurchmesser von 3,2cm3{,}2 cm. Berechnen Sie den prozentualen Anteil der Luft in der Schachtel am Innenvolumen der Schachtel nach dem Verpacken der vier Pralinen.

    2. Jede Pralinenkugel soll mit einer dünnen Blattgoldschicht überzogen werden. Berechnen Sie, wie viele cm2cm^2 Blattgold für eine Pralinenkugel mindestens benötigt werden.

    3. Bestimmen Sie die Masse einer massiven Kugel aus Gold mit einem Volumen von 753mm3753 mm^3. Dabei wiegt ein 1cm31 cm^3 Gold 19,3g19{,}3 g.

  8. 8

    Ein Gemälde mit der Breite DC\overline {D'C'} soll vollständig ausgeleuchtet werden (siehe Skizze, die eine Ansicht von oben darstellt). Wenn sich der Scheinwerfer 1m1 m entfernt befindet (A), bleiben insgesamt 15cm 15 cm der Bildbreite schlecht beleuchtet. Um die ganze Breite gut auszuleuchten, wird die Lichtquelle um 12cm12 cm verschoben (A‘). Ermitteln Sie rechnerisch die Breite DC\overline{D'C'} und die Größe des Winkels α.

    Bild

    Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

  9. 9

    Bei den folgenden Umformungen werden die binomischen Formeln angewendet. Ersetzen Sie die Platzhalter \square jeweils durch den entsprechenden Term und ermitteln Sie die mathematisch richtige Gleichung.

    I. 49a6++100c2=(+)249a^6+\square+100c^2=(\square+\square)^2

    II. (18ac+)(18ac)=125b2(18ac+\square)\cdot (18ac-\square)=\square-\dfrac{1}{25}b^2

  10. 10

    Ein Glücksrad ist in gleich große Sektoren unterteilt. Auf jedem Feld befindet sich eines von drei Symbolen (siehe Skizze).

    Bild
    1. Das Glücksrad wird zweimal nacheinander gedreht. Zeichnen Sie ein Baumdiagramm mit den möglichen Ergebnissen und beschriften Sie die Äste mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.

    2. Das Glücksrad wird dreimal nacheinander gedreht. Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Pfeil zuerst auf ein Dreieck, dann auf ein Viereck und danach auf einen Kreis zeigt, und geben Sie diese in Prozent an.

      %
    3. Das Glücksrad wird viermal nacheinander gedreht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit in Prozent, dass nicht viermal hintereinander ein Kreis angezeigt wird.

      %

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