Aufgabengruppe I - lernen mit Serlo!

Lösen Sie die folgenden Aufgaben.

Die Gerade $g_{1}$ verläuft durch den Punkt $A (4 | 4,5)$ und hat die Steigung $m_{1} = \frac{3}{4}$ . Bestimmen Sie rechnerisch die Funktionsgleichung von $g_{1}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Die allgemeine Geradengleichung lautet: $y = m \cdot x + t$
Die Steigung der Geraden ist bekannt: $m_{1} = \frac{3}{4}$
Setze die Koordinaten des Punkts $A$ in die Geradengleichung ein, und berechne den $\begin{array}{l} y \end{array}$ - Achsenabschnitt $t .$
$\frac{3}{4} \cdot 4 + t = 4,5 \Rightarrow t = 4,5 - 3 \Rightarrow t = 1,5$
Bestimme die Funktionsgleichung von $g_{1}$ indem du $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung einsetzst.
$g_{1} : y = \frac{3}{4} x + 1,5$
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Berechnen Sie die x-Koordinate der Nullstelle $N$ der Gerade $g_{2} : y = – 2,5 x – 7,5.$
=x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
Berechne die $x$ Koordinate der Nullstelle $N$ der Geraden $g_{2}$ .
Setze $g_{2} = 0$ und berechne $x$ .
$– 2,5 x – 7,5$ $=$ $0$ $+ 7,5$
↓
addiere
$- 2,5 x$ $=$ $7,5$ $: - 2,5$
↓
dividiere
$x$ $=$ $- 3$
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Der Punkt $P (– 4 | y)$ liegt auf $g_{2}$ . Berechnen Sie die fehlende y-Koordinate.
=y

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Berechne die fehlende y-Koordinate des Punktes $P .$
$y = - 2,5 x - 7,5$
setze die $x$ -Koordinate von $P$ in die Geradengleichung der Geraden $g_{2}$ ein.
$\begin{array}{l} y = - 2,5 \cdot (- 4) - 7,5 \Rightarrow y = 10 - 7,5 \\ \Rightarrow y = 2,5 \end{array}$
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Die Gerade $g_{4}$ durch den Punkt $C (4,5 | – 2)$ steht senkrecht auf der Geraden
$g_{3} : y = 0,25 x + 4$ . Ermitteln Sie rechnerisch die Funktionsgleichung von $g_{4}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
Aufstellen der Geradengleichung
Da die Gerade $g_{4}$ senkrecht auf der Geraden $g_{3}$ steht, gilt:
$m_{4} \cdot m_{3} = - 1 \Rightarrow m_{4} = \frac{- 1}{m_{3}} \Rightarrow m_{4} = \frac{- 1}{0,25}$
$m_{4} = - 4$
Die allgemeine Form der Geradengleichung lautet:
$y = m x + t$
Setze $m_{4}$ und die Koordinaten des Punktes $C$ in die Gleichung ein.
$- 2 = (- 4) \cdot 4,5 + t_{4} \Rightarrow t_{4} = 16$
Die Funktionsgleichung der Geraden $g_{4}$ lautet:
$g_{4} : y = - 4 x + 16$
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Verwende die Information, dass $g_{4}$ senkrecht auf $g_{3}$ steht.
Die Gerade $g_{5}$ mit der Funktionsgleichung $14 – 3 y = 3,75 x – 7$ schneidet die Gerade $g_{3}$ im Punkt $D$ . Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunkts $D$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Berechnung des Schnittpunktes $D$ .
Stelle die Geradengleichung $g_{5}$ nach $y$ um und setze $g_{3} = g_{5}$ .
$g_{5} : 14 – 3 y = 3,75 x – 7 \Rightarrow - 3 y = 3,75 x - 21 \Rightarrow y = - 1,25 x + 7$
$g_{5} : y = - 1,25 x + 7$
$0,25 x + 4$ $=$ $- 1,25 x + 7$ $+ 1,25 x$
↓
addiere
$1,5 x + 4$ $=$ $7$ $- 4$
↓
subtrahiere
$1,5 x$ $=$ $3$ $: 1,5$
↓
dividiere
$x$ $=$ $2$
Setze $x = 2$ in $g_{3}$ oder $g_{5}$ ein und berechne $y .$
$x$ eingesetzt in $g_{3}$ ergibt:
$0,25 \cdot 2 + 4 = y \Rightarrow y = 4,5$
Die Koordinaten des Schnittpunktes sind dann:
$D (2 | 4,5)$
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Um den Schnittpunkt zweier Funktionen zu berechnen, muss man sie gleichsetzen. Beachte, dass die Funktionen nicht in der Form $y = . . .$ gegeben sind.
Ermitteln Sie rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden $g_{6}$ , auf der die Punkte $E (4,5 | – 2)$ und $F (– 1,5 | 6)$ liegen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Die allgemeine Geradengleichung lautet: $y = m \cdot x + t$
Setze die Koordinaten der Punkte $E$ und $F$ in die Geradengleichung ein.
$(E) : 4,5 m + t = - 2$
$(F) : - 1,5 m + t = 6 \Rightarrow t = 6 + 1,5 m$
$(F) i n (E) : 4,5 m + (6 + 1,5 m)$ $=$ $- 2$
↓
fasse zusammen
$6 m + 6$ $=$ $- 2$ $- 6$
↓
addiere
$6 m$ $=$ $- 8$ $: 6$
↓
dividiere
$m$ $=$ $- \frac{8}{6}$
↓
kürze
$m$ $=$ $- \frac{4}{3}$
Setze $m$ in $(F)$ ein und berechne $t$ .
$t = 6 + 1,5 \cdot (- \frac{4}{3}) \Rightarrow t = 4$
Die Funktionsgleichung der Geraden $g_{6}$ lautet:
$g_{6} : y = - \frac{4}{3} x + 4$
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Zeichnen Sie die Geraden $g_{2}$ , $g_{3}$ und $g_{6}$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 cm.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$– 2,5 x – 7,5$	$=$	$0$	$+ 7,5$
	↓	addiere
$- 2,5 x$	$=$	$7,5$	$: - 2,5$
	↓	dividiere
$x$	$=$	$- 3$

$0,25 x + 4$	$=$	$- 1,25 x + 7$	$+ 1,25 x$
	↓	addiere
$1,5 x + 4$	$=$	$7$	$- 4$
	↓	subtrahiere
$1,5 x$	$=$	$3$	$: 1,5$
	↓	dividiere
$x$	$=$	$2$

$(F) i n (E) : 4,5 m + (6 + 1,5 m)$	$=$	$- 2$
	↓	fasse zusammen
$6 m + 6$	$=$	$- 2$	$- 6$
	↓	addiere
$6 m$	$=$	$- 8$	$: 6$
	↓	dividiere
$m$	$=$	$- \frac{8}{6}$
	↓	kürze
$m$	$=$	$- \frac{4}{3}$

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Aufstellen der Geradengleichung

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Berechnung des Schnittpunktes D.

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Berechnung des Schnittpunktes $D$ .