Aufgabengruppe I - lernen mit Serlo!

Lösen Sie die folgenden Aufgaben.

Die Gerade $g_{1}$ verläuft durch den Punkt $A (4 ∣ 4,5)$ und hat die Steigung $m_1=\dfrac{3}{4}$ . Bestimmen Sie rechnerisch die Funktionsgleichung von $g_{1}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Die allgemeine Geradengleichung lautet: $\quad y=\textcolor{ff6600}{m}\cdot x+\textcolor{009999}{t}$
Die Steigung der Geraden ist bekannt: $\ m_1=\dfrac{3}{4}$
Setze die Koordinaten des Punkts $A$ in die Geradengleichung ein, und berechne den $y$ - Achsenabschnitt $t .$
$\dfrac{3}{4}\cdot4+t=4{,}5\quad\Rightarrow\quad t=4{,}5-3\quad\Rightarrow\quad t=1{,}5\$
Bestimme die Funktionsgleichung von $g_{1}$ indem du $m$ und $t$ in die allgemeine Geradengleichung einsetzst.
$\ g_1:y=\dfrac{3}{4}x+1{,}5$
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Berechnen Sie die x-Koordinate der Nullstelle $N$ der Gerade $g_2: y = –2{,}5x – 7{,}5.$

Der Punkt $P (– 4 ∣ y)$ liegt auf $g_{2}$ . Berechnen Sie die fehlende y-Koordinate.
=y

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Berechne die fehlende y-Koordinate des Punktes $P .$
$\ y=-2{,}5x-7{,}5\$
setze die $x$ -Koordinate von $P$ in die Geradengleichung der Geraden $g_{2}$ ein.
$\hspace{5mm} y=-2{,}5\cdot (-4)-7{,}5\ \quad\Rightarrow\quad y=10-7{,}5\\ \ \hspace{42.5mm}\Rightarrow\quad \boxed{y=2{,}5}$
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Die Gerade $g_{4}$ durch den Punkt $C (4,5 ∣ – 2)$ steht senkrecht auf der Geraden
$g_3: y = 0{,}25x + 4$ . Ermitteln Sie rechnerisch die Funktionsgleichung von $g_{4}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
Aufstellen der Geradengleichung
Da die Gerade $g_{4}$ senkrecht auf der Geraden $g_{3}$ steht, gilt:
$\ m_{4}\cdot\ m_{3}\ =-1\quad\Rightarrow\quad\ m_{4}\ =\dfrac{-1}{m_3}\quad\Rightarrow\quad m_{4}\ =\dfrac{-1}{0{,}25}$
$\ m_4=-4$
Die allgemeine Form der Geradengleichung lautet:
$\hspace{51mm}y\ =\ mx\ +\ t$
Setze $m_{4}$ und die Koordinaten des Punktes $C$ in die Gleichung ein.
$\ -2\ =\ (-4)\cdot 4{,}5\ +\ t_4\quad\Rightarrow\quad t_4\ =\ 16$
Die Funktionsgleichung der Geraden $g_{4}$ lautet:
$\ g_{4}:y\ =\ -4x\ +\ 16$
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Verwende die Information, dass $g_{4}$ senkrecht auf $g_{3}$ steht.

Die Gerade $g_{5}$ mit der Funktionsgleichung $14 – 3 y = 3,75 x – 7$ schneidet die Gerade $g_{3}$ im Punkt $D$ . Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunkts $D$ .

Ermitteln Sie rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden $g_{6}$ , auf der die Punkte $E (4,5 ∣ – 2)$ und $F (– 1,5 ∣ 6)$ liegen.

Zeichnen Sie die Geraden $g_{2}$ , $g_{3}$ und $g_{6}$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 cm.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$\displaystyle –2{,}5x – 7{,}5$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +7{,}5$
	↓	addiere
$\displaystyle -2{,}5x$	$=$	$\displaystyle 7{,}5$	$\displaystyle :-2{,}5$
	↓	dividiere
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3$

$\displaystyle 0{,}25x+4$	$=$	$\displaystyle -1{,}25x+7$	$\displaystyle +1{,}25x$
	↓	addiere
$\displaystyle 1{,}5x+4$	$=$	$\displaystyle 7$	$\displaystyle -4$
	↓	subtrahiere
$\displaystyle 1{,}5x$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle :1{,}5$
	↓	dividiere
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle (F)\ in\ (E):\ 4{,}5m\ +(6+1{,}5m)$	$=$	$\displaystyle -2$
	↓	fasse zusammen
$\displaystyle 6m+6$	$=$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle -6$
	↓	addiere
$\displaystyle 6m$	$=$	$\displaystyle -8$	$\displaystyle :6$
	↓	dividiere
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{8}{6}$
	↓	kürze
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{4}{3}$

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Aufstellen der Geradengleichung

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Berechnung des Schnittpunktes DDD.

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Berechnung des Schnittpunktes $D$ .