Der Scheitel der Parabel $p_1$ist laut Angabe: $S_1(-4|1)$

Die Scheitelform lautet:

$f\left(x\right)=a(x-d{)}^2+e$

Setze die entsprechenden Werte des Scheitels$S_1$ ein.

$p_1:y=(x+4{)}^2+1$

die Normalform ist dann:

$p_1:y=x^2+8x+17$

Die allgemeine Form oder auch Hauptform einer quadratischen Funktion lautet:

$f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$

Setze die gegebenen Punktepaare in die Funktionsgleichung ein.

Da es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel handelt ist der Vorfaktor $a=-1$

$\text{Aus }A(-4|1):(I)1=-1\cdot (-4{)}^2+b\cdot (-4)+c$

$\text{Aus }B(0|1):(II)1=-1\cdot (0{)}^2+b\cdot (0)+c\Rightarrow c=1$

$$setze $c$ in $(I)$ ein und berechne $b$

Die Normalform von $p_2$lautet:

$p_2:y=-x^2-4x+1$

Umformen der allgemeinen Form von $p_2$in die Scheitelpunktform:

$p_2:y=-x^2-4x+1$

$p_2:y=-(x+4x-1)$

$p_2:y=-(x+2{)}^2+4+1$

$p_2:y=-(x+2{)}^2+5$

$\underline{\underline{S_2(-2|5)}}$

oder, du kannst auch gleich die Scheitelpunktform ermitteln:

Die Funktionswerte von $A$ und $B$ sind gleich nämlich: $y_A=y_B=1$

d.h. es gilt:$x_S={\displaystyle \frac{x_A+xB}{2}}\Rightarrow x_S={\displaystyle \frac{-4+0}{2}}\Rightarrow x_S=-2$

setze $x_S$und z.B. $x_A$in die Scheitelpunktform$(x-x_S{)}^2+y_S$ ein und berechne $y_S$.

$-(-4+2{)}^2+y_S=1\Rightarrow y_S=1+4\Rightarrow y_S=5$

Die Scheitelpunkform lautet dann: $p_2:y=-(x+2{)}^2+5\Rightarrow \underline{\underline{S_2(-2|5)}}$

$\text{Koordinaten der Schnittpunkte:}Q(-4|1)R(-2|5)$

Berechne die Schnittpunkte $M$ und $N$ der Normalparabel$p_3:$ $y=x^2+2x-2$

mit der Normalparabel $p_4:y=\text{–}{x}^2\text{–}2x+4$ , indem du die Funktionsterme gleichsetzt und diese Gleichung anschließend nach $x$ auflöst.

Löse jetzt die Quadratische Gleichung z.B. mit der Mitternachtsformel

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\Rightarrow x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2\cdot 1}}$

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-2\pm \sqrt{16}}{2\cdot 1}}$

$x_{\mathrm{1,2}}={\displaystyle \frac{-2\pm 4}{2\cdot 1}}=-1\pm 2$

$x_1=-3$

$x_2=1$

Setze $x_1$ und$x_2$ in z.B. $p_3:y=x^2+2x-2$ ein und bestimme $y_1$ und$y_2$.

Du kannst $x_1$und$x_2$auch in $p_4:y=-x^2-2x+4$ einsetzen.

$y_1=1\cdot (-3{)}^2+2\cdot (-3)-2\Rightarrow y_1=9-8\Rightarrow M(-3|1)$

$y_2=1\cdot (1{)}^2+2\cdot 1-2\Rightarrow y_2=1+0\Rightarrow N(1|1)$