Aufgabengruppe I - lernen mit Serlo!

Ein Gemälde mit der Breite $\overline {D'C'}$ soll vollständig ausgeleuchtet werden (siehe Skizze, die eine Ansicht von oben darstellt). Wenn sich der Scheinwerfer $1 m$ entfernt befindet (A), bleiben insgesamt $15 cm$ der Bildbreite schlecht beleuchtet. Um die ganze Breite gut auszuleuchten, wird die Lichtquelle um $12 cm$ verschoben (A‘). Ermitteln Sie rechnerisch die Breite $\overline{D'C'}$ und die Größe des Winkels α.

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strahlensatz

Berechnung von $\ \overline{D'C'}\$ in cm.

Anwendung des Strahlensatzes auf die Skizze:

$\hspace{50mm}\dfrac{\overline{A'B}}{\overline{D'C'}}=\dfrac{\overline{AB}}{\overline{DC}}$

$\\ \overline{A'B}=112\ cm$

$\ \overline{AB}=100\ cm$

$\ \overline{DC}=\overline{D'C'}-15\ cm$

setze die entsprechenden Werte in die obige Formel ein.

$\displaystyle \dfrac{112}{\overline{D'C'}}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{100}{\left(\overline{D'C'}-15\right)}$	$\displaystyle \cdot\left[\overline{D'C'}\left(\overline{D'C'}-15\right)\right]$
	↓	multipliziere
$\displaystyle 112\cdot\overline{D'C'}-1680$	$=$	$\displaystyle 100\cdot\overline{D'C'}$	$\displaystyle +1680$
	↓	addiere
$\displaystyle 112\cdot\overline{D'C'}$	$=$	$\displaystyle 100\cdot\overline{D'C}+1680$	$\displaystyle -(100\cdot\overline{D'C'})$
	↓	subtrahiere
$\displaystyle 12\cdot\overline{D'C'}$	$=$	$\displaystyle 1680$	$\displaystyle :12$
	↓	dividiere
$\displaystyle \overline{D'C'}$	$=$	$\displaystyle 140$

Die Breite $\ \overline{D'C'}\$ beträgt $\ 140\ cm.$

$\text{Hinweis}:\$ Es sind auch andere Lösungswege möglich.

Berechne den Winkel $\ \alpha\$ .

$\text{tan}\ \dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\overline{DB}}{100}\ \Rightarrow\ \overline{DB}=\dfrac{(140-15)}{2}\ \Rightarrow\ \overline{DB}=62{,}5$

$\text{tan}\ \dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{62{,}5}{100}\ \Rightarrow\ \text{tan}\ \dfrac{\alpha}{2}=0{,}625\ \Rightarrow\ \dfrac{\alpha}{2}=32°$

Der Winkel $\ \alpha\$ ist dann: $\ 2\cdot32°=\ 64°$

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