Bestimmung des Radius einer Kugel

Der Radius einer Kugel kann durch das Volumen oder die Oberfläche der Kugel berechnet werden.

Mit den Formeln

\displaystyle r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi }}

und

\displaystyle r=\sqrt{\frac{O}{4\pi }}

kann der Radius (und damit auch der Durchmesser) bestimmt werden.

Hat man den Radius $r$ gegeben, berechnet man das Volumen mit der Formel

\displaystyle V=\dfrac{4}{3}\pi r^3

und die Oberfläche mit

\displaystyle O=4\pi r^2.

Ist der Radius unbekannt, aber das Volumen oder die Oberfläche gegeben, kann man diese Formeln umformen, um $r$ zu bestimmen.

Berechnung von $r$ bei gegebenem $V$

$\displaystyle V$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}\pi r^3$	$\displaystyle :\pi$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$\displaystyle \frac{V}{\pi}$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}r^3$	$\displaystyle \cdot\frac{3}{4}$
	↓	Multipliziere mit dem Kehrbruch.
$\displaystyle \frac{V}{\pi}\cdot\frac{3}{4}$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}\cdot\frac{3}{4}r^3$
	↓	Vereinfache. Durch Kürzen bekommst du $\frac43\cdot \frac34=1$ .
$\displaystyle \frac{3V}{4\pi}$	$=$	$\displaystyle r^3$	$\displaystyle \sqrt[3]{}$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}$

$\displaystyle O$	$=$	$\displaystyle 4\pi r^2$	$\displaystyle :4\pi$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$\displaystyle r^2$	$=$	$\displaystyle \frac{O}{4\pi}$	$\displaystyle \sqrt{ }$
	↓	Ziehe die Wurzel. Da der Radius nicht negativ sein kann, gib nur die positive Lösung an.
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \sqrt{\frac{O}{4\pi}}$

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