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Aufgabe 3C

Bild

Die Abbildung zeigt den Körper ABCDEFA B C D E F mit A(1000),B(07,50),C(07,50),D(801),A(10|0| 0), B(0|7{,}5| 0), C(0|-7{,}5| 0), D(8|0| 1), E(033) E(0|3| 3) und F(033)F(0|-3| 3). Das Dreieck ABCA B C wird als Grundfläche und das Dreieck DEFD E F als Deckfläche des Körpers bezeichnet. Die Deckfläche liegt in der Ebene LL.

  1. Zeigen Sie, dass das Dreieck ABCA B C gleichschenklig ist. Berechnen Sie den Innenwinkel des Dreiecks ABCA B C im Eckpunkt AA.

    Begründen Sie, dass die Kante EF\overline{E F} parallel zur Grundfläche liegt. (7BE)

  2. Der Körper ABCDEFA B C D E F kann zu einer Pyramide mit der Grundfläche ABCA B C und der Spitze SS ergänzt werden, wobei D,ED, E und FF auf den Kanten der Pyramide liegen.

    Begründen Sie, dass SS in der x2x3x_{2} x_{3}-Ebene liegt.

    Berechnen Sie die Koordinaten von SS. [Zur Kontrolle: S(005)S(0|0| 5) ] (5BE)

  3. SS ist auch Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche DEFD E F. Die nebenstehende Abbildung zeigt in der x1x3x_{1} x_{3}-Ebene die Punkte DD und SS sowie den Mittelpunkt MM der Kante EF\overline{E F}.

    Begründen Sie, dass der Abstand von SS zur Ebene LL kleiner als 22 ist, und veranschaulichen Sie Ihre Begründung durch geeignete Eintragungen in der untenstehenden Abbildung.

    Bild

    (4BE)

  4. Für t[0;1]t \in[0 ; 1] besitzen die Punkte DtD_{t} der Strecke DS\overline{D S} die x1x_{1}-Koordinate 88t8-8 t.

    AEFSA_{E F S} ist der Flächeninhalt des Dreiecks EFS.

    Begründen Sie, dass das Volumen der Pyramide EFSDtE F S D_{t} mit dem Term 13AEFS(88t)\frac{1}{3} \cdot A_{E F S} \cdot(8-8 t) berechnet werden kann.

    Beschreiben Sie ein Vorgehen zur Berechnung des Volumens des Körpers ABCDtEFA B C D_{t} E F. (4BE)