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Aufgabe 1B

Die Grafik zeigt die Schulden Deutschlands zu Beginn eines Jahres für die Jahre 19501950 bis 20102010 in Mrd. Euro.

Bild
  1. Geben Sie die beiden Fünfjahreszeiträume an, in denen sich die Schulden mindestens verdoppelt haben. (2BE)

  2. Geben Sie ein Verfahren an zur Bestimmung einer Funktion, die für den Zeitraum von 19501950 bis 20102010 die Schulden in Abhängigkeit von der Zeitdauer seit 19501950 näherungsweise beschreibt.

    Nennen Sie drei Schritte der Durchführung des Verfahrens. (4BE)

  3. Bild

    In der nebenstehenden Abbildung sind die Daten aus der Grafik eingetragen.

    Die auf ganz R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=11e0,089xf(x)=11 \cdot e^{0{,}089 x} beschreibt für 0x600 \leq x \leq 60 näherungsweise die Schulden Deutschlands von 19501950 bis 20102010. Dabei gibt xx die Zeit in Jahren seit 19501950 an und f(x)f(x) die Schulden in Mrd. Euro.

    Zeichnen Sie den Graphen von ff in die Abbildung. (3BE)

  4. Bestimmen Sie mithilfe der Funktion ff die jährliche prozentuale Zunahme der Schulden.

    Untersuchen Sie, ob es einen Zeitpunkt gibt, zu dem die momentane Änderungsrate der Schulden größer als 250250 Mrd. Euro pro Jahr ist. (5BE)

  5. Im Folgenden wird in einem anderen Modell die momentane Änderungsrate der Schulden Deutschlands zu Beginn eines Jahres ab dem Jahr 2005 betrachtet. Sie wird für x0x \geq 0 durch die auf ganz R\mathbb{R} definierte Funktion gg mit g(x)=250e0,25x38g(x)=250 \cdot e^{-0{,}25 x}-38 beschrieben.

    Dabei gibt xx die Zeit in Jahren seit 2005 und g(x)g(x) die momentane Änderungsrate der Schulden in Mrd. Euro pro Jahr an.

    Ohne Nachweis können Sie verwenden, dass GG mit G(x)=1000e0,25x38xG(x)=-1000 \cdot e^{-0{,}25 x}-38 \cdot x eine Stammfunktion von gg ist.

    Begründen Sie, dass in der Modellierung mit gg die momentane Änderungsrate der Schulden ab Beginn des Jahres 20052005 abnimmt.

    Berechnen Sie das Jahr, in dem die Schulden ihren Höchststand erreichen. (6BE)

  6. Im Folgenden werden die zu erwartenden Schulden Deutschlands mm Jahre nach dem Jahr 2005 für 0m700 \leq m \leq 70 betrachtet.

    Begründen Sie, dass sich die zu erwartenden Schulden zu Beginn des Jahres 2005+m2005+m mithilfe des folgenden Terms berechnen lassen: 1490+0mg(x)dx1490+\int_{0}^{m} g(x) d x

    Bestimmen Sie das Jahr, in dem die Schulden vollständig abgebaut sind. (7BE)

  7. Begründen Sie, dass die Lösungen der Gleichung g(m)1490+0mg(x)dx=0,05\frac{g(m)}{1490+\int_{0}^{m} g(x) d x}=0{,}05 Zeitpunkte nach dem Jahr 20052005 angeben, zu denen die Schulden um 5%5 \% der vorhandenen Schulden wachsen.

    Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die momentane Änderungsrate der Schulden weniger als 5%5 \% der Schulden beträgt. (8BE)