Wahlteil - GTR
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Aufgabe 1A
Ein Unternehmen verkauft Fitnessarmbänder.
Die momentane Änderungsrate des Absatzes wird beschrieben mit der in definierten Funktion mit:
Dabei ist die seit der Produkteinführung vergangene Zeit in Monaten und die momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat.
Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Absatzes den größten Wert erreicht, und geben Sie diesen größten Wert an.
Kennzeichnen Sie in der Abbildung diejenigen Punkte des Graphen, die zu einer momentanen Änderungsrate des Absatzes in Höhe von 1000 Stück pro Monat gehören. (6BE)
Im Beobachtungszeitraum gibt es einen Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Absatzes am stärksten zunimmt, und einen Zeitpunkt, zu dem sie am stärksten abnimmt. Zur Bestimmung dieser beiden Zeitpunkte wurden folgende Berechnungen durchgeführt:
i.
ii.
Erläutern Sie diese beiden Berechnungen.
Bestimmen Sie ohne weitere Rechnung die beiden gesuchten Zeitpunkte. (6BE)
Gleichzeitig mit der Einführung des Fitnessarmbands brachte das Unternehmen eine Smartwatch auf den Markt. Die momentane Änderungsrate des Absatzes der Smartwatch in Stück pro Monat wird mithilfe der in definierten Funktion mit beschrieben. Dabei ist die seit der Produkteinführung vergangene Zeit in Monaten und die momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat.
Vergleichen Sie die momentanen Änderungsraten des Absatzes für das Fitnessarmband und die Smartwatch fünf Monate nach Produkteinführung. (2BE)
Berechnen Sie die Anzahl der im ersten Jahr nach Produkteinführung insgesamt verkauften Smartwatches.
Untersuchen Sie, ob es einen Zeitpunkt nach Produkteinführung gibt, bis zu dem ebenso viele Fitnessarmbänder wie Smartwatches verkauft wurden.
Geben Sie gegebenenfalls diesen Zeitpunkt an. (6BE)
Gegeben sind nun die in definierten Funktionen mit .
Für jeden Wert von ist der Extrempunkt und der
Wendepunkt des Graphen von .
Betrachtet wird zunächst . Die
nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen von .
Geben Sie für den Graphen von die Koordinaten des Extrempunktes und des Wendepunktes an. (2BE)
Die Tangente an den Graphen von in dessen Wendepunkt und der Graph von schließen mit der -Achse eine Fläche ein.
Bestimmen Sie deren Flächeninhalt. (6BE)
Jeder Punkt liegt auf einer Ursprungsgeraden und jeder Punkt liegt auf einer anderen Ursprungsgeraden.
Geben Sie die Gleichungen dieser beiden Ursprungsgeraden an. (3BE)
bezeichnet den Koordinatenursprung.
Beurteilen Sie die Gültigkeit der folgenden Aussage: (4BE)
Alle Dreiecke sind ähnlich.
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Aufgabe 1B
Die Grafik zeigt die Schulden Deutschlands zu Beginn eines Jahres für die Jahre bis in Mrd. Euro.
Geben Sie die beiden Fünfjahreszeiträume an, in denen sich die Schulden mindestens verdoppelt haben. (2BE)
Geben Sie ein Verfahren an zur Bestimmung einer Funktion, die für den Zeitraum von bis die Schulden in Abhängigkeit von der Zeitdauer seit näherungsweise beschreibt.
Nennen Sie drei Schritte der Durchführung des Verfahrens. (4BE)
In der nebenstehenden Abbildung sind die Daten aus der Grafik eingetragen.
Die auf ganz definierte Funktion mit beschreibt für näherungsweise die Schulden Deutschlands von bis . Dabei gibt die Zeit in Jahren seit an und die Schulden in Mrd. Euro.
Zeichnen Sie den Graphen von in die Abbildung. (3BE)
Bestimmen Sie mithilfe der Funktion die jährliche prozentuale Zunahme der Schulden.
Untersuchen Sie, ob es einen Zeitpunkt gibt, zu dem die momentane Änderungsrate der Schulden größer als Mrd. Euro pro Jahr ist. (5BE)
Im Folgenden wird in einem anderen Modell die momentane Änderungsrate der Schulden Deutschlands zu Beginn eines Jahres ab dem Jahr 2005 betrachtet. Sie wird für durch die auf ganz definierte Funktion mit beschrieben.
Dabei gibt die Zeit in Jahren seit 2005 und die momentane Änderungsrate der Schulden in Mrd. Euro pro Jahr an.
Ohne Nachweis können Sie verwenden, dass mit eine Stammfunktion von ist.
Begründen Sie, dass in der Modellierung mit die momentane Änderungsrate der Schulden ab Beginn des Jahres abnimmt.
Berechnen Sie das Jahr, in dem die Schulden ihren Höchststand erreichen. (6BE)
Im Folgenden werden die zu erwartenden Schulden Deutschlands Jahre nach dem Jahr 2005 für betrachtet.
Begründen Sie, dass sich die zu erwartenden Schulden zu Beginn des Jahres mithilfe des folgenden Terms berechnen lassen:
Bestimmen Sie das Jahr, in dem die Schulden vollständig abgebaut sind. (7BE)
Begründen Sie, dass die Lösungen der Gleichung Zeitpunkte nach dem Jahr angeben, zu denen die Schulden um der vorhandenen Schulden wachsen.
Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die momentane Änderungsrate der Schulden weniger als der Schulden beträgt. (8BE)
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Aufgabe 1C
Gegeben ist die in definierte Funktion mit .
Ohne Nachweis dürfen Sie verwenden, dass gilt:
Zeigen Sie, dass der Graph von an der Stelle eine Nullstelle hat und die Gleichung der Tangente an den Graphen von an dieser Stelle angibt. (5BE)
Untersuchen Sie für jede der drei folgenden Aussagen die Gültigkeit mithilfe des Graphen von :
I. Die Funktion ist überall monoton steigend.
II. An der Stelle hat die Funktion kein lokales Maximum.
III. Die Tangente an den Graphen von im Punkt ist parallel zu zwei weiteren Tangenten an den Graphen von .
(7BE)
Der Graph der in definierten Funktion mit ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.
Geben Sie die Symmetrie des Graphen von an und begründen Sie Ihre Angabe ausgehend vom Graphen von . (4BE)
Die Abbildung zeigt einen Längsschnitt eines Carports für ein Wohnmobil. Das Dach des Carports ist in Querrichtung nicht geneigt. Im Folgenden sollen die Materialstärken der Bauteile des Carports vernachlässigt werden.
Die Profillinie des Längsschnitts des Dachs wird zwischen den Punkten und modellhaft mithilfe der Funktion beschrieben.
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die -Achse stellt den horizontalen Untergrund dar.
Untersuchen Sie, ob ein Wohnmobil mit einer Länge von m und einer Höhe von vollständig im Carport untergestellt werden kann. (4BE)
Die maximale Neigung von Carportdächern sollte bei liegen. Untersuchen Sie, ob das betrachtete Carportdach diese Eigenschaft erfüllt. (4BE)
Abgesehen von einem hohen Streifen unmittelbar über dem Untergrund ist der Carport auf einer Seite über seine gesamte Länge vollständig verkleidet. Die Verkleidung ist eben und vertikal angebracht.
Berechnen Sie den Inhalt der verkleideten Fläche. (4BE)
Ausgehend vom selben Punkt des Untergrunds verlaufen entlang der seitlichen Verkleidung des Carports zwei geradlinige Stützen jeweils bis zum Dach. Die Stützen schließen einen Winkel mit einer Größe von ein. Die Endpunkte der ersten Stütze werden im Modell durch und dargestellt.
Zeichnen Sie die beiden Stützen in die Abbildung ein.
Berechnen Sie die -Koordinate des Punkts, der den Endpunkt der zweiten Stütze am Dach darstellt. (7BE)
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Aufgabe 2A
In einem Paketzentrum werden pro Jahr viele Millionen Pakete angeliefert. Die Pakete werden automatisch nach ihrem Bestimmungsort sortiert. der Pakete haben das Ziel A, das Ziel B. Die übrigen Pakete haben andere Ziele.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von zufällig ausgewählten Paketen
genau neun das Ziel B haben.
weniger als neun das Ziel B haben.
(4BE)
Unter zufällig ausgewählten Paketen haben genau neun das Ziel B.
Berechnen Sie die prozentuale Abweichung dieser Anzahl vom Erwartungswert für die
Anzahl von Paketen mit dem Ziel B unter 100 zufällig ausgewählten Paketen. (3BE)
Im Paketzentrum werden Pakete zufällig ausgewählt.
Eines der anderen Ziele ist Ziel C. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den ausgewählten Paketen keines das Ziel C hat, beträgt etwa .
Ermitteln Sie den Anteil der Pakete mit dem Ziel unter allen Paketen, die pro Jahr im Paketzentrum angeliefert werden. (4BE)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Sachzusammenhang kann mit dem Term
berechnet werden.
Geben Sie ein passendes Ereignis an. (2BE)
Alle im Paketzentrum angelieferten Pakete werden im Rahmen der Sortierung gewogen.
der Pakete haben ein Gewicht von mehr als und gelten damit als schwer. Von den Paketen mit dem Ziel A sind schwer.
Ein Paket wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:
: „Das ausgewählte Paket ist schwer.“
A: „Das ausgewählte Paket hat das Ziel A.“
Der Sachzusammenhang ist in der Vierfeldertafel dargestellt.
Untersuchen Sie, ob der Anteil der Pakete mit Ziel A unter den schweren Paketen ebenso groß ist wie unter den nicht-schweren Paketen. (4BE)
Von den Paketen, die das Ziel B haben, sind schwer.
Berechnen Sie den Anteil der schweren Pakete unter denen, die weder Ziel A noch Ziel B haben. (3BE)
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Aufgabe 2B
Ein Unternehmen stellt Tischtennisbälle her. der hergestellten Bälle weichen nur unwesentlich von der Kugelform ab; diese werden im Weiteren als „rund“ bezeichnet, die übrigen als „unrund“. Aus der großen Menge der hergestellten Bälle werden regelmäßig Stichproben entnommen, wobei die Auswahl der Bälle für jede Stichprobe als zufällig angenommen werden kann. Die Zufallsgröße gibt die Anzahl der runden Bälle in diesen Stichproben an. ist binomialverteilt.
Es wird eine Stichprobe von Bällen untersucht.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Stichprobe
nur runde Bälle enthält,
mindestens runde Bälle enthält,
genau einen oder genau zwei unrunde Bälle enthält.
(4BE)
Nach der Herstellung durchlaufen die Bälle eine Sortieranlage. Dabei wird ein unrunder Ball mit einer Wahrscheinlichkeit von aussortiert. Allerdings werden auch der runden Bälle aussortiert.
Stellen Sie den Prozess der Herstellung und Sortierung der Bälle in einem beschrifteten Baumdiagramm dar. (3BE)
Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang. (2BE)
Angenommen, die nicht aussortierten Bälle würden die gleiche Sortieranlage ein zweites Mal durchlaufen.
Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein nach zweimaligem Durchlaufen der Anlage zufällig ausgewählter Ball unrund ist und nicht aussortiert wird, ist.
Berechnen Sie den Anteil der unrunden Bälle unter denjenigen, die dann nach zweimaligem Durchlaufen der Anlage nicht aussortiert würden. (4BE)
Das Gewicht eines Tischtennisballs soll Gramm (g) betragen. Bei einer Kontrolle einer sehr großen Anzahl von Bällen der Produktion wurden die in der Tabelle aufgeführten relativen Häufigkeiten für die Gewichte der Bälle festgestellt.
Begründen Sie, warum es nicht möglich ist, zu den in der Tabelle vorliegenden Daten das arithmetische Mittel der Gewichte zu berechnen. (2BE)
Die relativen Häufigkeiten aus der Tabelle werden im Folgenden als Wahrscheinlichkeiten verwendet.
Geben Sie das größte Gewicht an, das ein zufällig ausgewählter Ball mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens unterschreitet. (2BE)
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Stichprobe von zufällig ausgewählten Bällen höchstens einer ein Gewicht aufweist, das kleiner als g oder größer als g ist. (3BE)
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Aufgabe 2C
Betrachtet wird die Gruppe der in Deutschland lebenden Personen, die eine Pkw-Fahrerlaubnis haben. dieser Personen interessieren sich für den Kauf eines Elektroautos, kaufen in Bioläden ein, interessieren sich nicht für den Kauf eines Elektroautos und kaufen nicht in Bioläden ein.
Der beschriebene Sachverhalt wird in einer Vierfeldertafel dargestellt. Dazu werden die folgenden Ereignisse betrachtet:
: Eine Person mit Pkw-Fahrerlaubnis kauft in Bioläden ein.
: Eine Person mit Pkw-Fahrerlaubnis interessiert sich für den Kauf eines Elektroautos.
Füllen Sie die Vierfeldertafel vollständig aus. (3BE)
Beurteilen Sie die Gültigkeit der folgenden Aussage: (2BE)
In der betrachteten Gruppe interessieren sich unter denjenigen, die in Bioläden einkaufen, mehr als die Hälfte für den Kauf eines Elektroautos.
Aus der betrachteten Gruppe werden 30 Personen zufällig ausgewählt.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwei Drittel der ausgewählten Personen am Kauf eines Elektroautos nicht interessiert sind. (3BE)
Unter den Elektroautos eines Herstellers weisen mindestens eines der beiden Ausstattungsmerkmale A bzw. B auf; der Elektroautos dieses Herstellers weisen das Merkmal A auf. Das abgebildete Baumdiagramm stellt den Sachverhalt dar. Die beiden Merkmale treten bei den Elektroautos des Herstellers unabhängig voneinander auf.
Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein zufällig ausgewähltes Elektroauto des Herstellers keines der beiden Merkmale aufweist. (1BE)
Ermitteln Sie den im Baumdiagramm genannten Anteil .
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Elektroauto des Herstellers das Merkmal B aufweist. (4BE)
Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term berechnet werden kann.
Geben Sie dieses Ereignis an. (3BE)
Zehn Elektroautos des Herstellers werden nacheinander betrachtet.
Ermitteln Sie, wie viele Autos mit dem Merkmal A sich unter diesen zehn Autos mindestens befinden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens von den ersten drei betrachteten Autos mindestens eines das Merkmal A aufweist. (4BE)
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Aufgabe 3A
Ein Element eines Klettergartens ist eine ebene, viereckige Kletterwand. In einem Koordinatensystem können die Eckpunkte der Kletterwand durch die Punkte und beschrieben werden.
Die -Ebene stellt den horizontalen Boden dar. Die Kletterwand liegt in einer Ebene, die senkrecht zur -Ebene steht. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht
Meter (m) in der Wirklichkeit.
Weisen Sie nach, dass die Kletterwand die Form eines Parallelogramms hat, aber nicht rechteckig ist. (4BE)
Auf der Kletterwand verläuft eine horizontale Linie, die den Punkt enthält. Diese Linie teilt die Wand in zwei Teile.
Begründen Sie, dass der Flächeninhalt des unteren Teils größer ist als der des oberen Teils. (4BE)
Ein anderes Element des Klettergartens ist ein Stahlseil, das zwischen zwei vertikal stehenden, hohen Masten gespannt ist. Der Fußpunkt des ersten Masts wird durch dargestellt, der Fußpunkt des zweiten Masts durch . Das Seil ist am ersten Mast in einer Höhe von befestigt, am zweiten Mast in einer Höhe von m. Es soll davon ausgegangen werden, dass das Seil geradlinig verläuft.
Stellen Sie die beiden Masten und das Seil in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dar. (3BE)
Bestimmen Sie die Neigung des Seils zwischen den beiden Masten in Prozent. (4BE)
Über das bisher betrachtete Seil hinweg ist ein zweites Stahlseil gespannt. Dieses obere Seil verläuft entlang der Geraden mit .
Ein Punkt des oberen Seils liegt vertikal über einem Punkt des unteren Seils.
Ermitteln Sie den Abstand dieser beiden Punkte. (5BE)
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Aufgabe 3B
Betrachtet wird der Stumpf der schiefen Pyramide . Die Grundfläche mit und sowie die Deckfläche des Stumpfs mit , und sind quadratisch.
Berechnen Sie
die Länge der Strecke
die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke .
(3BE)
Erläutern Sie den folgenden Ansatz zur Berechnung der Koordinaten der Pyramidenspitze :
(3BE)
Bestimmen Sie das Volumen des Stumpfs. (3BE)
Der Pyramidenstumpf wird soweit um die Kante gedreht bis die Fläche in der-Ebene liegt.
Geben Sie die Koordinaten eines Bildpunktes an. (2BE)
Der Mittelpunkt der Kante und der Mittelpunkt der Kante liegen auf der Gerade mit .
Die Punkte der Kante lassen sich in der Form darstellen.
Für einen Punkt der Kante schneidet die Gerade durch und die Gerade .
Berechnen Sie den zugehörigen Wert von . (4BE)
Es gibt Punkte der Kante , für die der von den Strecken und eingeschlossene Winkel größer als ist.
Ermitteln Sie die zugehörigen Werte von . (5BE)
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Aufgabe 3C
Die Abbildung zeigt modellhaft das Dach eines Kirchturms.
Die Eckpunkte der dreieckigen Giebelflächen (grau markiert) und der viereckigen Dachflächen werden durch die Punkte und sowie und dargestellt.
Die vier Dachflächen haben die gleiche Form und die gleiche Größe. Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Realität.
Die Materialstärken der Bauteile des Dachs sollen im Folgenden vernachlässigt werden.
Die Ebene enthält die Punkte und .
Geben Sie eine Gleichung von in Parameterform an und zeigen Sie, dass auch in liegt. (4BE)
Weisen Sie nach, dass das Viereck eine Raute ist. (3BE)
Berechnen Sie die Größe des Innenwinkels des Vierecks im Punkt sowie den gesamten Flächeninhalt der Dachflächen. (5BE)
Die Gerade verläuft durch und , die Gerade durch und . Die beiden Geraden schneiden die -Ebene in den Punkten bzw. .
Geben Sie das Verhältnis des Abstands von und zum Abstand von und an.
Begründen Sie Ihre Angabe, ohne die Koordinaten von und zu berechnen. (3BE)
Zur Stabilisierung wird zwischen den durch und dargestellten Giebelspitzen ein gerader Stahlträger montiert. Vom Mittelpunkt dieses Stahlträgers aus soll eine möglichst kurze Stütze zum durch dargestellten Balken verlaufen. Der Punkt, in dem die Stütze auf den Balken trifft, wird im Modell mit bezeichnet.
Berechnen Sie die Koordinaten von . (5BE)
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