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  1. 1

    Aufgabe 1A

    Bild

    Ein Unternehmen verkauft Fitnessarmbänder.

    Die momentane Änderungsrate des Absatzes wird beschrieben mit der in R\mathbb{R} definierten Funktion ff mit:

    f(x)=4000xe0,4x;0x18f(x)=4000 \cdot x \cdot e^{-0{,}4 \cdot x} ; 0 \leq x \leq 18

    Dabei ist xx die seit der Produkteinführung vergangene Zeit in Monaten und f(x)f(x) die momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat.

    1. Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Absatzes den größten Wert erreicht, und geben Sie diesen größten Wert an.

      Kennzeichnen Sie in der Abbildung diejenigen Punkte des Graphen, die zu einer momentanen Änderungsrate des Absatzes in Höhe von 1000 Stück pro Monat gehören. (6BE)

    2. Im Beobachtungszeitraum gibt es einen Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Absatzes am stärksten zunimmt, und einen Zeitpunkt, zu dem sie am stärksten abnimmt. Zur Bestimmung dieser beiden Zeitpunkte wurden folgende Berechnungen durchgeführt:

      i. f(x)=0x=5\quad f^{\prime \prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=5

      ii. f(5)>0\quad f^{\prime \prime \prime}(5)>0

      Erläutern Sie diese beiden Berechnungen.

      Bestimmen Sie ohne weitere Rechnung die beiden gesuchten Zeitpunkte. (6BE)

    3. Gleichzeitig mit der Einführung des Fitnessarmbands brachte das Unternehmen eine Smartwatch auf den Markt. Die momentane Änderungsrate des Absatzes der Smartwatch in Stück pro Monat wird mithilfe der in R\mathbb{R} definierten Funktion gg mit g(x)=1600x2e0,4xg(x)=1600 \cdot x^{2} \cdot e^{-0{,}4 \cdot x} beschrieben. Dabei ist xx die seit der Produkteinführung vergangene Zeit in Monaten und g(x)g(x) die momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat.

      Vergleichen Sie die momentanen Änderungsraten des Absatzes für das Fitnessarmband und die Smartwatch fünf Monate nach Produkteinführung. (2BE)

    4. Berechnen Sie die Anzahl der im ersten Jahr nach Produkteinführung insgesamt verkauften Smartwatches.

      Untersuchen Sie, ob es einen Zeitpunkt nach Produkteinführung gibt, bis zu dem ebenso viele Fitnessarmbänder wie Smartwatches verkauft wurden.

      Geben Sie gegebenenfalls diesen Zeitpunkt an. (6BE)

    5. Bild

      Gegeben sind nun die in R\mathbb{R} definierten Funktionen hbh_{b} mit hb(x)=xe0,1bx;b>0h_{b}(x)=x \cdot e^{-0{,}1 \cdot b \cdot x} ; b>0.

      Für jeden Wert von bb ist E(10b10be1)E\left(\frac{10}{b}\left\lceil\frac{10}{b} \cdot e^{-1}\right)\right. der Extrempunkt und W(20b20be2)W\left(\frac{20}{b} \left\lvert\, \frac{20}{b} \cdot e^{-2}\right.\right) der

      Wendepunkt des Graphen von hbh_{b}.

      Betrachtet wird zunächst h1h_{1}. Die

      nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen von h1h_{1}.

      Geben Sie für den Graphen von h1h_{1} die Koordinaten des Extrempunktes und des Wendepunktes an. (2BE)

    6. Die Tangente an den Graphen von h1h_{1} in dessen Wendepunkt und der Graph von h1h_{1} schließen mit der xx-Achse eine Fläche ein.

      Bestimmen Sie deren Flächeninhalt. (6BE)

    7. Jeder Punkt EE liegt auf einer Ursprungsgeraden und jeder Punkt WW liegt auf einer anderen Ursprungsgeraden.

      Geben Sie die Gleichungen dieser beiden Ursprungsgeraden an. (3BE)

    8. OO bezeichnet den Koordinatenursprung.

      Beurteilen Sie die Gültigkeit der folgenden Aussage: (4BE)

      Alle Dreiecke OWEO W E sind ähnlich.

  2. 2

    Aufgabe 1B

    Die Grafik zeigt die Schulden Deutschlands zu Beginn eines Jahres für die Jahre 19501950 bis 20102010 in Mrd. Euro.

    Bild
    1. Geben Sie die beiden Fünfjahreszeiträume an, in denen sich die Schulden mindestens verdoppelt haben. (2BE)

    2. Geben Sie ein Verfahren an zur Bestimmung einer Funktion, die für den Zeitraum von 19501950 bis 20102010 die Schulden in Abhängigkeit von der Zeitdauer seit 19501950 näherungsweise beschreibt.

      Nennen Sie drei Schritte der Durchführung des Verfahrens. (4BE)

    3. Bild

      In der nebenstehenden Abbildung sind die Daten aus der Grafik eingetragen.

      Die auf ganz R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=11e0,089xf(x)=11 \cdot e^{0{,}089 x} beschreibt für 0x600 \leq x \leq 60 näherungsweise die Schulden Deutschlands von 19501950 bis 20102010. Dabei gibt xx die Zeit in Jahren seit 19501950 an und f(x)f(x) die Schulden in Mrd. Euro.

      Zeichnen Sie den Graphen von ff in die Abbildung. (3BE)

    4. Bestimmen Sie mithilfe der Funktion ff die jährliche prozentuale Zunahme der Schulden.

      Untersuchen Sie, ob es einen Zeitpunkt gibt, zu dem die momentane Änderungsrate der Schulden größer als 250250 Mrd. Euro pro Jahr ist. (5BE)

    5. Im Folgenden wird in einem anderen Modell die momentane Änderungsrate der Schulden Deutschlands zu Beginn eines Jahres ab dem Jahr 2005 betrachtet. Sie wird für x0x \geq 0 durch die auf ganz R\mathbb{R} definierte Funktion gg mit g(x)=250e0,25x38g(x)=250 \cdot e^{-0{,}25 x}-38 beschrieben.

      Dabei gibt xx die Zeit in Jahren seit 2005 und g(x)g(x) die momentane Änderungsrate der Schulden in Mrd. Euro pro Jahr an.

      Ohne Nachweis können Sie verwenden, dass GG mit G(x)=1000e0,25x38xG(x)=-1000 \cdot e^{-0{,}25 x}-38 \cdot x eine Stammfunktion von gg ist.

      Begründen Sie, dass in der Modellierung mit gg die momentane Änderungsrate der Schulden ab Beginn des Jahres 20052005 abnimmt.

      Berechnen Sie das Jahr, in dem die Schulden ihren Höchststand erreichen. (6BE)

    6. Im Folgenden werden die zu erwartenden Schulden Deutschlands mm Jahre nach dem Jahr 2005 für 0m700 \leq m \leq 70 betrachtet.

      Begründen Sie, dass sich die zu erwartenden Schulden zu Beginn des Jahres 2005+m2005+m mithilfe des folgenden Terms berechnen lassen: 1490+0mg(x)  dx1490+\displaystyle\int_{0}^{m} g(x)\; d x

      Bestimmen Sie das Jahr, in dem die Schulden vollständig abgebaut sind. (7BE)

    7. Begründen Sie, dass die Lösungen der Gleichung g(m)1490+0mg(x)dx=0,05\dfrac{g(m)}{1490+\displaystyle\int_{0}^{m} g(x) d x}=0{,}05 Zeitpunkte nach dem Jahr 20052005 angeben, zu denen die Schulden um 5%5 \% der vorhandenen Schulden wachsen.

      Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die momentane Änderungsrate der Schulden weniger als 5%5 \% der Schulden beträgt. (8BE)

  3. 3

    Aufgabe 1C

    Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=1640x4+140x3980x2+15x+3f(x)=-\frac{1}{640} x^{4}+\frac{1}{40} x^{3}-\frac{9}{80} x^{2}+\frac{1}{5} x+3.

    Ohne Nachweis dürfen Sie verwenden, dass gilt: f(x)=1160x3+340x2940x+15f^{\prime}(x)=-\frac{1}{160} x^{3}+\frac{3}{40} x^{2}-\frac{9}{40} x+\frac{1}{5}

    1. Zeigen Sie, dass der Graph von ff an der Stelle x=12x=12 eine Nullstelle hat und t(x)=52x+30t(x)=-\frac{5}{2} x+30 die Gleichung der Tangente an den Graphen von ff an dieser Stelle angibt. (5BE)

    2. Untersuchen Sie für jede der drei folgenden Aussagen die Gültigkeit mithilfe des Graphen von ff^{\prime} :

      I. Die Funktion ff ist überall monoton steigend.

      II. An der Stelle x=6x=6 hat die Funktion ff kein lokales Maximum.

      III. Die Tangente an den Graphen von ff im Punkt (0,5f(0,5))(0{,}5 \mid f(0{,}5)) ist parallel zu zwei weiteren Tangenten an den Graphen von ff.

      (7BE)

    3. Der Graph der in R\mathbb{R} definierten Funktion hh mit h(x)=f(x+4)110h(x)=f^{\prime}(x+4)-\frac{1}{10} ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

      Geben Sie die Symmetrie des Graphen von ff^{\prime} an und begründen Sie Ihre Angabe ausgehend vom Graphen von hh. (4BE)

    4. Die Abbildung zeigt einen Längsschnitt eines Carports für ein Wohnmobil. Das Dach des Carports ist in Querrichtung nicht geneigt. Im Folgenden sollen die Materialstärken der Bauteile des Carports vernachlässigt werden.

      Bild

      Die Profillinie des Längsschnitts des Dachs wird zwischen den Punkten A(03)A(0 \mid 3) und B(9f(9))B(9 \mid f(9)) modellhaft mithilfe der Funktion ff beschrieben.

      Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die xx-Achse stellt den horizontalen Untergrund dar.

      Untersuchen Sie, ob ein Wohnmobil mit einer Länge von 7,057{,}05 m und einer Höhe von 3,10 m3{,}10 \mathrm{~m} vollständig im Carport untergestellt werden kann. (4BE)

    5. Die maximale Neigung von Carportdächern sollte bei 25%25 \% liegen. Untersuchen Sie, ob das betrachtete Carportdach diese Eigenschaft erfüllt. (4BE)

    6. Abgesehen von einem 20 cm20 \mathrm{~cm} hohen Streifen unmittelbar über dem Untergrund ist der Carport auf einer Seite über seine gesamte Länge vollständig verkleidet. Die Verkleidung ist eben und vertikal angebracht.

      Berechnen Sie den Inhalt der verkleideten Fläche. (4BE)

    7. Ausgehend vom selben Punkt des Untergrunds verlaufen entlang der seitlichen Verkleidung des Carports zwei geradlinige Stützen jeweils bis zum Dach. Die Stützen schließen einen Winkel mit einer Größe von 60°60° ein. Die Endpunkte der ersten Stütze werden im Modell durch C(60)C(6|0) und D(8f(8))D(8|f(8)) dargestellt.

      Zeichnen Sie die beiden Stützen in die Abbildung ein.

      Berechnen Sie die xx-Koordinate des Punkts, der den Endpunkt der zweiten Stütze am Dach darstellt. (7BE)

  4. 4

    Aufgabe 2A

    In einem Paketzentrum werden pro Jahr viele Millionen Pakete angeliefert. Die Pakete werden automatisch nach ihrem Bestimmungsort sortiert. 10%10 \% der Pakete haben das Ziel A, 7%7 \% das Ziel B. Die übrigen Pakete haben andere Ziele.

    1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 100100 zufällig ausgewählten Paketen

      • genau neun das Ziel B haben.

      • weniger als neun das Ziel B haben.

      (4BE)

    2. Unter 100100 zufällig ausgewählten Paketen haben genau neun das Ziel B.

      Berechnen Sie die prozentuale Abweichung dieser Anzahl vom Erwartungswert für die

      Anzahl von Paketen mit dem Ziel B unter 100 zufällig ausgewählten Paketen. (3BE)

    3. Im Paketzentrum werden 2020 Pakete zufällig ausgewählt.

      Eines der anderen Ziele ist Ziel C. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den 2020 ausgewählten Paketen keines das Ziel C hat, beträgt etwa 54%54 \%.

      Ermitteln Sie den Anteil der Pakete mit dem Ziel C\mathrm{C} unter allen Paketen, die pro Jahr im Paketzentrum angeliefert werden. (4BE)

    4. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Sachzusammenhang kann mit dem Term

      berechnet werden.

      Geben Sie ein passendes Ereignis an. (2BE)

    5. Alle im Paketzentrum angelieferten Pakete werden im Rahmen der Sortierung gewogen.

      5%5 \% der Pakete haben ein Gewicht von mehr als 10 kg10 \mathrm{~kg} und gelten damit als schwer. Von den Paketen mit dem Ziel A sind 8%8 \% schwer.

      Bild

      Ein Paket wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

      SS : „Das ausgewählte Paket ist schwer.“

      A: „Das ausgewählte Paket hat das Ziel A.“

      Der Sachzusammenhang ist in der Vierfeldertafel dargestellt.

      Untersuchen Sie, ob der Anteil der Pakete mit Ziel A unter den schweren Paketen ebenso groß ist wie unter den nicht-schweren Paketen. (4BE)

    6. Von den Paketen, die das Ziel B haben, sind 2  %2 \;\% schwer.

      Berechnen Sie den Anteil der schweren Pakete unter denen, die weder Ziel A noch Ziel B haben. (3BE)

  5. 5

    Aufgabe 2B

    Ein Unternehmen stellt Tischtennisbälle her. 98%98 \% der hergestellten Bälle weichen nur unwesentlich von der Kugelform ab; diese werden im Weiteren als „rund“ bezeichnet, die übrigen als „unrund“. Aus der großen Menge der hergestellten Bälle werden regelmäßig Stichproben entnommen, wobei die Auswahl der Bälle für jede Stichprobe als zufällig angenommen werden kann. Die Zufallsgröße XX gibt die Anzahl der runden Bälle in diesen Stichproben an. XX ist binomialverteilt.

    1. Es wird eine Stichprobe von 200200 Bällen untersucht.

      Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Stichprobe

      • nur runde Bälle enthält,

      • mindestens 190190 runde Bälle enthält,

      • genau einen oder genau zwei unrunde Bälle enthält.

      (4BE)

    2. Nach der Herstellung durchlaufen die Bälle eine Sortieranlage. Dabei wird ein unrunder Ball mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%90 \% aussortiert. Allerdings werden auch 5%5 \% der runden Bälle aussortiert.

      Stellen Sie den Prozess der Herstellung und Sortierung der Bälle in einem beschrifteten Baumdiagramm dar. (3BE)

    3. Beschreiben Sie die Bedeutung des Terms 0,980,0520000{,}98 \cdot 0{,}05 \cdot 2000 im Sachzusammenhang. (2BE)

    4. Angenommen, die nicht aussortierten Bälle würden die gleiche Sortieranlage ein zweites Mal durchlaufen.

      Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein nach zweimaligem Durchlaufen der Anlage zufällig ausgewählter Ball unrund ist und nicht aussortiert wird, 0,020,120{,}02 \cdot 0{,}1^{2} ist.

      Berechnen Sie den Anteil der unrunden Bälle unter denjenigen, die dann nach zweimaligem Durchlaufen der Anlage nicht aussortiert würden. (4BE)

    5. Bild

      Das Gewicht eines Tischtennisballs soll 2,702{,}70 Gramm (g) betragen. Bei einer Kontrolle einer sehr großen Anzahl von Bällen der Produktion wurden die in der Tabelle aufgeführten relativen Häufigkeiten für die Gewichte der Bälle festgestellt.

      Begründen Sie, warum es nicht möglich ist, zu den in der Tabelle vorliegenden Daten das arithmetische Mittel der Gewichte zu berechnen. (2BE)

    6. Die relativen Häufigkeiten aus der Tabelle werden im Folgenden als Wahrscheinlichkeiten verwendet.

      Geben Sie das größte Gewicht an, das ein zufällig ausgewählter Ball mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 20%20 \% unterschreitet. (2BE)

    7. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Stichprobe von 2424 zufällig ausgewählten Bällen höchstens einer ein Gewicht aufweist, das kleiner als 2,672{,}67 g oder größer als 2,772{,}77 g ist. (3BE)

  6. 6

    Aufgabe 2C

    Betrachtet wird die Gruppe der in Deutschland lebenden Personen, die eine Pkw-Fahrerlaubnis haben. 47,5%47{,}5 \% dieser Personen interessieren sich für den Kauf eines Elektroautos, 43,4%43{,}4 \% kaufen in Bioläden ein, 34,7%34{,}7 \% interessieren sich nicht für den Kauf eines Elektroautos und kaufen nicht in Bioläden ein.

    1. Der beschriebene Sachverhalt wird in einer Vierfeldertafel dargestellt. Dazu werden die folgenden Ereignisse betrachtet:

      BB : Eine Person mit Pkw-Fahrerlaubnis kauft in Bioläden ein.

      EE : Eine Person mit Pkw-Fahrerlaubnis interessiert sich für den Kauf eines Elektroautos.

      Füllen Sie die Vierfeldertafel vollständig aus. (3BE)

      Bild
    2. Beurteilen Sie die Gültigkeit der folgenden Aussage: (2BE)

      In der betrachteten Gruppe interessieren sich unter denjenigen, die in Bioläden einkaufen, mehr als die Hälfte für den Kauf eines Elektroautos.

    3. Aus der betrachteten Gruppe werden 30 Personen zufällig ausgewählt.

      Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwei Drittel der ausgewählten Personen am Kauf eines Elektroautos nicht interessiert sind. (3BE)

    4. Bild

      Unter den Elektroautos eines Herstellers weisen 30%30 \% mindestens eines der beiden Ausstattungsmerkmale A bzw. B auf; 10%10 \% der Elektroautos dieses Herstellers weisen das Merkmal A auf. Das abgebildete Baumdiagramm stellt den Sachverhalt dar. Die beiden Merkmale treten bei den Elektroautos des Herstellers unabhängig voneinander auf.

      Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein zufällig ausgewähltes Elektroauto des Herstellers keines der beiden Merkmale aufweist. (1BE)

    5. Ermitteln Sie den im Baumdiagramm genannten Anteil xx.

      Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Elektroauto des Herstellers das Merkmal B aufweist. (4BE)

    6. Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term 1100,30,790,7101-10 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7^{9}-0{,}7^{10} berechnet werden kann.

      Geben Sie dieses Ereignis an. (3BE)

    7. Zehn Elektroautos des Herstellers werden nacheinander betrachtet.

      Ermitteln Sie, wie viele Autos mit dem Merkmal A sich unter diesen zehn Autos mindestens befinden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90%90 \% von den ersten drei betrachteten Autos mindestens eines das Merkmal A aufweist. (4BE)

  7. 7

    Aufgabe 3A

    Ein Element eines Klettergartens ist eine ebene, viereckige Kletterwand. In einem Koordinatensystem können die Eckpunkte der Kletterwand durch die Punkte A(674),B(1055),C(95,58)A(6|7| 4), B(10|5| 5), C(9|5{,}5| 8) und D(57,57)D(5|7{,}5| 7) beschrieben werden.

    Die x1x2x_{1} x_{2}-Ebene stellt den horizontalen Boden dar. Die Kletterwand liegt in einer Ebene, die senkrecht zur x1x2x_{1} x_{2}-Ebene steht. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht

    11 Meter (m) in der Wirklichkeit.

    1. Weisen Sie nach, dass die Kletterwand die Form eines Parallelogramms hat, aber nicht rechteckig ist. (4BE)

    2. Auf der Kletterwand verläuft eine horizontale Linie, die den Punkt DD enthält. Diese Linie teilt die Wand in zwei Teile.

      Begründen Sie, dass der Flächeninhalt des unteren Teils größer ist als der des oberen Teils. (4BE)

    3. Ein anderes Element des Klettergartens ist ein Stahlseil, das zwischen zwei vertikal stehenden, 8 m8 \mathrm{~m} hohen Masten gespannt ist. Der Fußpunkt des ersten Masts wird durch F1(000)F_{1}(0|0| 0) dargestellt, der Fußpunkt des zweiten Masts durch F2(2,560)F_{2}(2{,}5|6| 0). Das Seil ist am ersten Mast in einer Höhe von 6 m6 \mathrm{~m} befestigt, am zweiten Mast in einer Höhe von 4,74{,}7 m. Es soll davon ausgegangen werden, dass das Seil geradlinig verläuft.

      Stellen Sie die beiden Masten und das Seil in einem dreidimensionalen Koordinatensystem dar. (3BE)

    4. Bestimmen Sie die Neigung des Seils zwischen den beiden Masten in Prozent. (4BE)

    5. Über das bisher betrachtete Seil hinweg ist ein zweites Stahlseil gespannt. Dieses obere Seil verläuft entlang der Geraden h:x=(138)+t(500)\def\arraystretch{1.25} h: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 3 \\ 8\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}5 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) mit tRt \in \mathbb{R}.

      Ein Punkt des oberen Seils liegt vertikal über einem Punkt des unteren Seils.

      Ermitteln Sie den Abstand dieser beiden Punkte. (5BE)

  8. 8

    Aufgabe 3B

    Bild

    Betrachtet wird der Stumpf ABCDEFGHA B C D E F G H der schiefen Pyramide ABCDSA B C D S. Die Grundfläche ABCDA B C D mit A(400),B(440),C(040)A(4|0| 0), B(4|4| 0), C(0|4| 0) und D(000)D(0|0| 0) sowie die Deckfläche des Stumpfs mit E(304)E(3|0| 4), F(334),G(034)F(3|3| 4), G(0|3| 4) und H(004)H(0|0| 4) sind quadratisch.

    1. Berechnen Sie

      • die Länge der Strecke DF\overline{D F}

      • die Koordinaten des Mittelpunktes der Strecke DF\overline{D F}.

      (3BE)

    2. Erläutern Sie den folgenden Ansatz zur Berechnung der Koordinaten der Pyramidenspitze S(0016)S(0|0| 16) :

      (400)+r(104)=(00s)\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}-1\\0\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\s\end{pmatrix}

      (3BE)

    3. Bestimmen Sie das Volumen des Stumpfs. (3BE)

    4. Der Pyramidenstumpf wird soweit um die Kante CD\overline{C D} gedreht bis die Fläche CGHDC G H D in derx1x2x_{1} x_{2}-Ebene liegt.

      Geben Sie die Koordinaten eines Bildpunktes HH^{\prime} an. (2BE)

    5. Der Mittelpunkt MM der Kante AB\overline{A B} und der Mittelpunkt NN der Kante CG\overline{C G} liegen auf der Gerade j:x=(420)+t(834)\def\arraystretch{1.25} j: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}4 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-8 \\ 3 \\ 4\end{array}\right) mit tRt \in \mathbb{R}.

      Die Punkte der Kante BC\overline{B C} lassen sich in der Form PW(w40)P_{W}(w|4| 0) darstellen.

      Für einen Punkt PWP_{W} der Kante BC\overline{B C} schneidet die Gerade durch HH und PWP_{W} die Gerade jj.

      Berechnen Sie den zugehörigen Wert von ww. (4BE)

    6. Es gibt Punkte PWP_{W} der Kante BC\overline{B C}, für die der von den Strecken PWM\overline{P_{W} M} und PWH\overline{P_{W} H} eingeschlossene Winkel größer als 7070^{\circ} ist.

      Ermitteln Sie die zugehörigen Werte von ww. (5BE)

  9. 9

    Aufgabe 3C

    Bild

    Die Abbildung zeigt modellhaft das Dach eines Kirchturms.

    Die Eckpunkte der dreieckigen Giebelflächen (grau markiert) und der viereckigen Dachflächen werden durch die Punkte B(800),C(880),E(406),F(846),G(486)B(8|0| 0), C(8|8| 0), E(4|0| 6), F(8|4| 6), G(4|8| 6) und S(4412)S(4|4| 12) sowie A,DA, D und HH dargestellt.

    Die vier Dachflächen haben die gleiche Form und die gleiche Größe. Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Realität.

    Die Materialstärken der Bauteile des Dachs sollen im Folgenden vernachlässigt werden.

    1. Die Ebene LL enthält die Punkte C,GC, G und FF.

      Geben Sie eine Gleichung von LL in Parameterform an und zeigen Sie, dass auch SS in LL liegt. (4BE)

    2. Weisen Sie nach, dass das Viereck CGSFCGSF eine Raute ist. (3BE)

    3. Berechnen Sie die Größe des Innenwinkels des Vierecks CGSFCGSF im Punkt SS sowie den gesamten Flächeninhalt der Dachflächen. (5BE)

    4. Die Gerade q1q_{1} verläuft durch SS und FF, die Gerade q2q_{2} durch SS und GG. Die beiden Geraden schneiden die x1x2x_{1} x_{2}-Ebene in den Punkten Q1Q_{1} bzw. Q2Q_{2}.

      Geben Sie das Verhältnis des Abstands von Q1Q_{1} und Q2Q_{2} zum Abstand von FF und GG an.

      Begründen Sie Ihre Angabe, ohne die Koordinaten von Q1Q_{1} und Q2Q_{2} zu berechnen. (3BE)

    5. Zur Stabilisierung wird zwischen den durch EE und GG dargestellten Giebelspitzen ein gerader Stahlträger montiert. Vom Mittelpunkt dieses Stahlträgers aus soll eine möglichst kurze Stütze zum durch SF\overline{S F} dargestellten Balken verlaufen. Der Punkt, in dem die Stütze auf den Balken trifft, wird im Modell mit RR bezeichnet.

      Berechnen Sie die Koordinaten von RR. (5BE)


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