Vierfeldertafel

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & & & \\\hline\mathrm{\overline B} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline B})} \\\hline\ & & & \end{array}$

Egal, ob man Wahrscheinlichkeiten oder absolute Häufigkeiten beschreiben will, stehen

• in der ersten Zeile die Symbole für das Ereignis $\text{A}$ und sein Gegenereignis $\mathrm{\overline A}$.

• in der ersten Spalte die Symbole für das Ereignis $\text{B}$ und sein Gegenereignis $\mathrm{\overline B}$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & & & \\\hline\mathrm{\overline B} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\\hline\ & \color{red}{P(A)} & \color{red}{P(\overline{A})} & \end{array}$

• In der letzten Zeile der $\text{A}$-Spalte steht die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $\text{A}$. Man bezeichnet diese mit $P(A)$

• In der letzten Zeile der $\overline{A}$-Spalte steht die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $\overline{\text{A}}$. Diese wird mit $P(\overline{A})$ bezeichnet.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & & & \color{red}{P(B)}\\\hline\mathrm{\overline B} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \color{red}{P(\overline{B})} \\\hline\ & & & \end{array}$

• In der letzten Spalte der $\text{B}$-Zeile steht die Wahrscheinlichkeit $P(B)$ für das Ereignis $\text{B}$.

• In der letzten Spalte der $\overline{\text{B}}$-Zeile steht die Wahrscheinlichkeit $P(\overline{B})$ für das Ereignis $\overline{\text{B}}$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & & & \\\hline\mathrm{\overline B} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\\hline\ & & & \color{red}{1}\end{array}$

• Da die Ereignisse $\text{A}$ und $\overline{\text{A}}$ Gegenereignisse sind, müssen sich ihre Wahrscheinlichkeiten zu $1$ addieren.

• Dasselbe gilt für $\text{B}$ und $\overline{\text{B}}$.

Daher ist der Eintrag rechts unten in der Vierfeldertafel immer eine 1.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & \color{red}{\mathrm{P(A\cap B})} & \color{red}{\mathrm{P(\overline A\cap B})} & \mathrm{P(B)} \\\hline\mathrm{\overline B} & \color{red}{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \color{red}{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \mathrm{P(\overline B}) \\\hline\ & \mathrm{P(A)} & \mathrm{P(\overline A)} & 1 \end{array}$

• In den restlichen vier Feldern notiert man die Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen der Ereignisse $\text{A}\cap\text{B}$, $\overline{\text{A}}\cap\text{B}$, $\text{A}\cap\overline{\text{B}}$, $\overline{\text{A}}\cap\overline{\text{B}}$.

• Dabei ist die letzte Wahrscheinlichkeit in einer Zeile die Summe der anderen beiden. Zum Beispiel $\mathrm{P(B)} = \mathrm{P(\text{A}\cap\text{B})}+ \mathrm{P(\overline{\text{A}}\cap\text{B})}.$

• Dasselbe gilt für die letzte Wahrscheinlichkeit einer Spalte. Zum Beispiel $\mathrm{P(\overline{A})} = \mathrm{P(\overline{\text{A}}\cap\text{B})}+ \mathrm{P(\overline{\text{A}}\cap\overline{\text{B}})}.$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & & & \\\hline\mathrm{\overline B} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\\hline\ & \color{red}{H(A)} & \color{red}{H(\overline{A})} & \end{array}$

• In der letzten Zeile der $\text{A}$-Spalte steht die absolute Häufigkeit für das Ereignis $\text{A}$. Man bezeichnet diese mit $H(A)$

• In der letzten Zeile der $\overline{A}$-Spalte steht die absolute Häufigkeit für das Ereignis $\overline{\text{A}}$. Diese wird mit $H(\overline{A})$ bezeichnet.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & & & \color{red}{H(B)}\\\hline\mathrm{\overline B} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \color{red}{H(\overline{B})} \\\hline\ & & & \end{array}$

• In der letzten Spalte der $\text{B}$-Zeile steht die absolute Häufigkeit $H(B)$ für das Ereignis $\text{B}$.

• In der letzten Spalte der $\overline{\text{B}}$-Zeile steht die absolute Häufigkeit $H(\overline{B})$ für das Ereignis $\overline{\text{B}}$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & & & \\\hline\mathrm{\overline B} & \hphantom{\mathrm{P(A\cap \overline B})} & \hphantom{\mathrm{P(\overline A\cap \overline B})} & \\\hline\ & & & \color{red}{G}\end{array}$

Der Eintrag unten rechts einer Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten ist die Gesamtzahl $G$ an Versuchen, oder an untersuchten Objekten.

Auch hier gilt, dass sich

• die absoluten Häufigkeiten von $A$ und $\overline{A}$ zu $G$ addieren, sowie auch

• die absoluten Häufigkeiten von $B$ und $\overline{B}$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{A} & \mathrm{\overline A} & \ \\\hline\mathrm{B} & \color{red}{\mathrm{H(A\cap B})} & \color{red}{\mathrm{H(\overline A\cap B})} & \mathrm{H(B)} \\\hline\mathrm{\overline B} & \color{red}{\mathrm{H(A\cap \overline B})} & \color{red}{\mathrm{H(\overline A\cap \overline B})} & \mathrm{H(\overline B}) \\\hline\ & \mathrm{H(A)} & \mathrm{H(\overline A)} & G \end{array}$

• In diese vier Felder notiert man die absoluten Häufigkeiten der Schnittmengen der Ereignisse $\text{A}\cap\text{B}$, $\overline{\text{A}}\cap\text{B}$, $\text{A}\cap\overline{\text{B}}$, $\overline{\text{A}}\cap\overline{\text{B}}$.

• Dabei ist die letzte absolute Häufigkeit in einer Zeile die Summe der anderen beiden. Zum Beispiel $\mathrm{H(B)} = \mathrm{H(\text{A}\cap\text{B})}+ \mathrm{H(\overline{\text{A}}\cap\text{B})}.$

• Dasselbe gilt für die letzte absolute Häufigkeit einer Spalte. Zum Beispiel $\mathrm{H(\overline{A})} = \mathrm{H(\overline{\text{A}}\cap\text{B})}+ \mathrm{H(\overline{\text{A}}\cap\overline{\text{B}})}.$

• Man kann mithilfe der Werte aus der Vierfeldertafel bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen.

• Umgekehrt kann man auch durch die Angabe der bedingten Wahrscheinlichkeit Werte für die Vierfeldertafel berechnen.

• Dafür muss die Vierfeldertafel Wahrscheinlichkeiten beinhalten.

$\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=P_B(A)$

$P(A\cap B)=P_B(A)\cdot P(B)$

• ist $P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)$ ?

• ist $P(A\cap \overline{B}) = P(A)\cdot P(\overline{B})$ ?

• ist $P(\overline{A}\cap B) = P(\overline{A})\cdot P(B)$ ?

• ist $P(\overline{A}\cap \overline{B}) = P(\overline{A})\cdot P(\overline{B})$ ?

Das hier sind genau die Wahrscheinlichkeiten der inneren vier Felder der Tafel! (daher auch der Name.)

Zuerst fertigt man eine Vierfeldertafel an, beschriftet Zeilen und Spalten und trägt die Wahrscheinlichkeiten aus dem Text ein.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{J} & \overline{\text{J}} & \ \\\hline\mathrm{B} & \frac{13}{30} & \ & \frac{20}{30} \\\hline\mathrm{\overline B} &\vphantom{\dfrac{1}{2}} \ & \ & \ \\\hline\ & \frac{16}{30} & \frac{14}{30} & 1 \end{array}$

Um die fehlenden Werte zu bestimmen, benutzt man die Eigenschaften und Rechenregeln von oben.

Den fehlenden Wert in der zweiten Zeile zum Beispiel wird berechnet als: $\dfrac{20}{30}-\dfrac{13}{30}=\dfrac{7}{30}$

Die Werte in der dritten Zeile ergeben sich dann durch ähnliche Rechnungen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{c|c|c|c}\ & \mathrm{J} & \overline{\text J} & \ \\\hline\mathrm{B} & \frac{13}{30} & \frac{7}{30} & \frac{2}{3} \\\hline\mathrm{\overline B} & \frac{1}{10} & \frac{7}{30} & \frac13 \\\hline\ & \frac{8}{15} & \frac{7}{15} & 1 \end{array}$