Teil 2 Lineare Algebra und analytische Geometrie I

🎓 Prüfungsbereich für Bayern

Weitere Bundesländer & Aufgaben:
Mathe- Prüfungen Startseite

Austausch & Hilfe:
Prüfungen-Discord

Die Aufgaben zum Ausdrucken als PDF findest du hier.

Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen Hilfsmittel verwendet werden.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
In einer Kletterhalle für Kinder soll eine Wand mit Überhang gebaut werden, welche modellhaft in einem geeignet gewählten kartesischen Koordinatensystem des $ℝ^{3}$ betrachtet wird. Der Boden der Kletterhalle liegt in der $x_{1} - x_{2}$ -Koordinatenebene. Die Ebene $G$ , die den Überhang bildet, ist durch die Punkte $E (15 | 0 | 5)$ , $C (12 | 9 | 12)$ und $D (- 1 | 9 | 12)$ festgelegt. Zudem sind die Punkte $A (15 | 0 | 25)$ , $B (- 11 | 0 | 25)$ und $F (- 2 | 0 | 5)$ gegeben. Die Koordinaten der Punkte sind Längenangaben in der Einheit Dezimeter.
Auf die Mitführung von Einheiten während der Rechnung kann verzichtet werden. Ergebnisse sind gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle zu runden.
1. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene $G$ in Koordinatenform und beschreiben Sie die besondere Lage von $G$ im Koordinatensystem.
  [Mögliches Ergebnis: $G$ : $7 x_{2} - 9 x_{3} + 45 = 0$ ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene von Normalform in Koordinatenform umwandeln
  Bestimme eine Gleichung der Ebene $G$ in Koordinatenform
  Berechne die Vektoren $\vec{E C} = \vec{O C} - \vec{O E} = (\begin{array}{c} 12 \\ 9 \\ 12 \end{array}) - (\begin{array}{c} 15 \\ 0 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 9 \\ 7 \end{array})$ und
  $\vec{E D} = \vec{O C} - \vec{O E} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 9 \\ 12 \end{array}) - (\begin{array}{c} 15 \\ 0 \\ 5 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 16 \\ 9 \\ 7 \end{array})$
  Dann ist der Normalenvektor ${\vec{n}}_{G}$ der Ebene G:
  ${\vec{n}}_{G} = \vec{E C} \times \vec{E D} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 9 \\ 7 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 16 \\ 9 \\ 7 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - 91 \\ 117 \end{array})$
  $G : - 91 x_{2} + 117 x_{3} + d = 0$
  Setze die Koordinaten des Punktes $E$ ein:
  $117 \cdot 5 + d = 0 \Rightarrow d = - 585 \Rightarrow G : - 91 x_{2} + 117 x_{3} - 585 = 0 | : (- 13)$
  $G : 7 x_{2} - 9 x_{3} + 45 = 0 ✓$
  Eine Gleichung der Ebene $G$ in Koordinatenform ist $G : 7 x_{2} - 9 x_{3} + 45 = 0$ .
  Beschreibe die besondere Lage von $G$ im Koordinatensystem
  Die Ebene $G$ verläuft parallel zur $x_{1}$ -Achse.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. Berechnen Sie den Neigungswinkel der Ebene $G$ zum Boden.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von zwei Ebenen
  -Berechne den Neigungswinkel der Ebene $G$ zum Boden
  $\cos φ = \frac{| \vec{n_{G}} \circ \vec{n_{x_{1} x_{2}}} |}{| \vec{n_{G}} | \cdot | \vec{n_{x_{1} x_{2}}} |} = \frac{| (\begin{array}{c} 0 \\ 7 \\ - 9 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) |}{\sqrt{7^{2} + (- 9)^{2}} \cdot 1} = \frac{9}{\sqrt{130}}$
  $φ = \cos^{- 1} (\frac{9}{\sqrt{130}}) \approx 37,9 °$
  Der Neigungswinkel der Ebene $G$ zum Boden beträgt rund ${37,9}^{°}$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Berechne $\cos φ = \frac{| \vec{n_{G}} \circ \vec{n_{x_{1} x_{2}}} |}{| \vec{n_{G}} | \cdot | \vec{n_{x_{1} x_{2}}} |}$ .
3. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts des dreieckigen Seitenteils $A E C .$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalte und Volumen im kartesischen Koordinatensystem
  Berechne die Maßzahl des Flächeninhalts des dreieckigen Seitenteils $A E C$
  $A_{A E C} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{A E} \times \vec{A C} |$
  $\vec{A E} = \vec{O E} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} 15 \\ 0 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 15 \\ 0 \\ 25 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 20 \end{array})$ und $\vec{A C} = \vec{O C} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} 12 \\ 9 \\ 12 \end{array}) - (\begin{array}{c} 15 \\ 0 \\ 25 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 9 \\ - 13 \end{array})$
  Dann ist $A_{A E C} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{A E} \times \vec{A C} | = \frac{1}{2} \cdot | (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 20 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 3 \\ 9 \\ - 13 \end{array}) | = \frac{1}{2} \cdot | (\begin{array}{c} 180 \\ 60 \\ 0 \end{array}) | = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot \sqrt{3^{2} + 1^{2}}$
  $A_{A E C} = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot \sqrt{10} \approx 94,9$
  Die Maßzahl des Flächeninhalts des dreieckigen Seitenteils $A E C$ beträgt rund $94,9 {dm}^{2}$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Berechne $A_{A E C} = \frac{1}{2} \cdot | \vec{A E} \times \vec{A C} |$ .
4. Die Decke der Halle, an der eine Überwachungskamera angebracht werden soll, liegt in der Ebene $H : x_{3} - 26 = 0$ . Um alle Bereiche der Kletterwand zu erfassen, muss die Kamera weit genug von der Rückwand $A E_{1} F_{1} B$ entfernt sein. Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden $s$ der Ebene $G$ und der Ebene $H$ . Der Abstand dieser Schnittgeraden $s$ zur $x_{1}$ - $x_{3}$ -Koordinatenebene entspricht dem Mindestabstand der Kamera von der Rückwand $A E_{1} F_{1} B$ in Dezimeter. Geben Sie diesen Abstand an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von zwei Ebenen
  Bestimme eine Gleichung der Schnittgeraden $s$ der Ebene $G$ und der Ebene $H$
  Es sind $H : x_{3} = 26$ und $G : 7 x_{2} - 9 x_{3} + 45 = 0$ .
  $x_{3} = 26$ liegt auch auf der Schnittgeraden $s$ . Setze $x_{3} = 26$ in $G$ ein:
  $7 x_{2} - 9 \cdot 26 + 45 = 0 \Rightarrow 7 x_{2} = 189 \Rightarrow x_{2} = 27$ ist eine feste $x_{2}$ -Komponente von $s$ .
  $x_{1}$ ist frei wählbar $\Rightarrow x_{1} = r$
  $\Rightarrow s : \vec{x} = (\begin{array}{c} r \\ 27 \\ 26 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 27 \\ 26 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ mit $r \in ℝ$ .
  Die Gleichung der Schnittgeraden $s$ der Ebene $G$ und der Ebene $H$ lautet $s : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 27 \\ 26 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ .
  Gib diesen Abstand an
  Der Abstand dieser Schnittgeraden $s$ zur $x_{1}$ - $x_{3}$ -Koordinatenebene ist $d = 27 dm$ (feste $x_{2}$ -Komponente von $s$ ).
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Teil 1
  Gegeben sind $H : x_{3} = 26$ und $G : 7 x_{2} - 9 x_{3} + 45 = 0$ .
  $x_{3} = 26$ liegt auf der Schnittgeraden $s$ . Setze $x_{3} = 26$ in $G$ ein $\Rightarrow x_{2}$
  $x_{1}$ ist frei wählbar $\Rightarrow x_{1} = r$
  Teil 2
  Betrachte die $x_{2}$ -Komponente von $s$ .
5. Der Punkt $K$ ist der Schnittpunkt der beiden Diagonalen des Vierecks $A C D B$ . Zur Stabilisierung wird innerhalb der Kletterwand ein Stahlträger am Punkt $K$ angebracht, der senkrecht zur Kletterfläche $A C D B$ steht. Beschreiben Sie, wie der Montagepunkt des Stahlträgers an der Rückwand $A E_{1} F_{1} B$ ermittelt werden kann, ohne die Rechnung durchzuführen.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lotfußpunktverfahren
  Beschreibe, wie der Montagepunkt des Stahlträgers an der Rückwand $A E_{1} F_{1} B$ ermittelt werden kann
  1. Bestimme die Geradengleichungen durch $A, D$ bzw. $C, B$ .
  2. $K$ ist der Schnittpunkt dieser beiden Geraden.
  3. Aufstellung einer Geradengleichung $g$ durch $K$ . Der Richtungsvektor von $g$ ist der Normalenvektor der Ebene $A C D B$ .
  4. Die Rückwand $A E_{1} F_{1} B$ liegt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene. Schneide $g$ mit dieser Ebene und Du erhältst den Montagepunkt des Stahlträgers an der Rückwand.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  1. Bestimme die Geradengleichungen durch $A, D$ bzw. $C, B$ .
  2. $K$ ist der Schnittpunkt dieser beiden Geraden.
  3. Aufstellung einer Geradengleichung $g$ durch $K$ . Der Richtungsvektor von $g$ ist der Normalenvektor der Ebene $A C D B$ .
  4. Die Rückwand $A E_{1} F_{1} B$ liegt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene. Schneide $g$ mit dieser Ebene.
6. Der Körper $A B C D E F$ kann in drei Teilkörper zerlegt werden (siehe Skizze). Berechnen Sie die Maßzahl des Volumens der dreiseitigen Pyramide $A B C F$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung in der analytischen Geometrie
  Berechne die Maßzahl des Volumens der dreiseitigen Pyramide $A B C F$
  Ein Tetraeder ist eine Pyramide, die als Grundseite ein Dreieck hat.
  $V_{A B C F} = \frac{1}{6} \cdot | \vec{A F} \circ (\vec{A C} \times \vec{A B}) |$
  $\vec{A F} = \vec{O F} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \\ 5 \end{array}) - (\begin{array}{c} 15 \\ 0 \\ 25 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 17 \\ 0 \\ - 20 \end{array})$ , $\vec{A C} = \vec{O C} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} 12 \\ 9 \\ 12 \end{array}) - (\begin{array}{c} 15 \\ 0 \\ 25 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 9 \\ - 13 \end{array})$
  $\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} - 11 \\ 0 \\ 25 \end{array}) - (\begin{array}{c} 15 \\ 0 \\ 25 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 26 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
  $\vec{A C} \times \vec{A B} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 9 \\ - 13 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 26 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 338 \\ 234 \end{array})$
  $V_{A B C F} = \frac{1}{6} \cdot | \vec{A F} \circ (\vec{A C} \times \vec{A B}) | = \frac{1}{6} \cdot | (\begin{array}{c} - 17 \\ 0 \\ - 20 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 0 \\ 338 \\ 234 \end{array}) | = \frac{1}{6} \cdot | (- 20) \cdot 234 | = 780$
  Die Maßzahl des Volumens der dreiseitigen Pyramide $A B C F$ beträgt $780 {dm}^{3}$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Berechne $V_{A B C F} = \frac{1}{6} \cdot | \vec{A F} \circ (\vec{A C} \times \vec{A B}) |$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil 2 Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Bestimme eine Gleichung der Ebene G in Koordinatenform

Beschreibe die besondere Lage von G im Koordinatensystem

Hast du eine Frage oder Feedback?

-Berechne den Neigungswinkel der Ebene G zum Boden

Hast du eine Frage oder Feedback?

Berechne die Maßzahl des Flächeninhalts des dreieckigen Seitenteils AEC

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimme eine Gleichung der Schnittgeraden s der Ebene G und der Ebene H

Gib diesen Abstand an

Hast du eine Frage oder Feedback?

Beschreibe, wie der Montagepunkt des Stahlträgers an der Rückwand AE1F1B ermittelt werden kann

Hast du eine Frage oder Feedback?

Berechne die Maßzahl des Volumens der dreiseitigen Pyramide ABCF

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimme eine Gleichung der Ebene $G$ in Koordinatenform

Beschreibe die besondere Lage von $G$ im Koordinatensystem

-Berechne den Neigungswinkel der Ebene $G$ zum Boden

Berechne die Maßzahl des Flächeninhalts des dreieckigen Seitenteils $A E C$

Bestimme eine Gleichung der Schnittgeraden $s$ der Ebene $G$ und der Ebene $H$

Beschreibe, wie der Montagepunkt des Stahlträgers an der Rückwand $A E_{1} F_{1} B$ ermittelt werden kann

Berechne die Maßzahl des Volumens der dreiseitigen Pyramide $A B C F$