Teil 2 Analysis 1 - lernen mit Serlo!

Nach Öffnung einer Schleuse gibt für $t\ge 0$ die Funktion $w$ mit

$w(t)= \dfrac{e^{2t}+60e^t-60}{e^{2t}+10e^t+25}$

die zeitliche Entwicklung des Wasserdurchflusses in einem Kanal an einer Messstelle an. Der Wasserdurchfluss ist das Volumen des Wassers in $m^3,$ das an dieser Stelle pro Sekunde vorbeifließt. Die Zeit $t$ wird ab Öffnung der Schleuse zum Zeitpunkt $t = 0$ in Sekunden gemessen. Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen $G_w$ der Funktion $w$ .

Bei allen Rechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden. Runden Sie alle Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen.

Geben Sie den Wasserdurchfluss eine Sekunde nach Öffnung der Schleuse und für $t\rightarrow \infty$ an.
Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Wasserdurchfluss erstmals seit Beginn der Beobachtung den Wert von $1{,}0\dfrac{m^3}{s}$ überschreitet.
Zeigen Sie, dass die Funktion $w$ auch durch die Gleichung
$w(t)=\dfrac{e^{2t}+60e^t-60}{(e^t+5)^2}$
dargestellt werden kann.
Berechnen Sie die Koordinaten des Hochpunktes von $G_w$ und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang. Hinweis: Der Nachweis, dass ein Hochpunkt vorliegt, muss nicht erbracht werden.
[ Mögliches Teilergebnis: $w(t)=\dfrac{-50e^{2t}+420e^t}{(e^t+5)^3}$ ]