Teil 1 Lineare Algebra

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Die Aufgaben in diesem Ordner sollen ohne Hilfsmittel wie Taschenrechner oder Formelsammlung bearbeitet werden.

1
In einem kartesischen Koordinatensystem des $ℝ^{3}$ sind die Ebene $E : - x_{2} + x_{3} = 5$ und der Punkt $P (4 | - 2 | 4)$ gegeben.
1. Zeigen Sie, dass der Punkt $P$ nicht in der Ebene $E$ liegt. Geben Sie eine Gleichung der Geraden $g$ durch den Punkt $P$ an, die zur Ebene $E$ senkrecht steht, und bestimmen Sie den Schnittpunkt $L$ von $g$ und E.
  [Mögliches Teilergebnis: $L (4 | - 1,5 | 3,5)$ ].
2. Für den Punkt $Q$ gilt: $\vec{O Q} = \vec{O P} + 2 \vec{P L}$ .
  Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $Q$ . Fertigen Sie ohne Verwendung eines Koordinatensystems eine Skizze an, aus der die gegenseitige Lage der Punkte $Q$ , $P$ und der Ebene $E$ hervorgeht.
2
Im $ℝ^{3}$ sind die beiden Vektoren $\vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array})$ und $\vec{b} = (\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 0 \end{array})$ gegeben. Bestimmen Sie einen Vektor $\vec{c}$ , der senkrecht zu $\vec{a}$ und $\vec{b}$ steht, und begründen Sie ohne Rechnung, ob die Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ eine Basis des $ℝ^{3}$ bilden. Überprüfen Sie auch, ob die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ senkrecht aufeinander stehen.

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