Teil 1 Lineare Algebra

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Die Aufgaben in diesem Ordner sollen ohne Hilfsmittel wie Taschenrechner oder Formelsammlung bearbeitet werden.

1
In einem kartesischen Koordinatensystem des $ℝ^{3}$ sind die Ebene $E : - x_{2} + x_{3} = 5$ und der Punkt $P (4 | - 2 | 4)$ gegeben.
1. Zeigen Sie, dass der Punkt $P$ nicht in der Ebene $E$ liegt. Geben Sie eine Gleichung der Geraden $g$ durch den Punkt $P$ an, die zur Ebene $E$ senkrecht steht, und bestimmen Sie den Schnittpunkt $L$ von $g$ und E.
  [Mögliches Teilergebnis: $L (4 | - 1,5 | 3,5)$ ]. [5 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen
  Zeige, dass der Punkt $P$ nicht in der Ebene $E$ liegt
  Gegeben: $E : - x_{2} + x_{3} = 5$ und der Punkt $P (4 | - 2 | 4)$ .
  Setze die Koordinaten von $P$ in $E$ ein:
  $- (- 2) + 4 = 5 \Rightarrow 6 \neq 5 \Rightarrow P \notin E$ .
  Der Punkt $P$ liegt nicht in der Ebene $E$ .
  Gib eine Gleichung der Geraden $g$ durch den Punkt $P$ an, die zur Ebene $E$ senkrecht steht
  Lies aus der Ebenengleichung den Normalenvektor ab.
  ${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$
  Dieser Normalenvektor ist der Richtungsvektor von g.
  Also folgt:
  $g : \vec{x} = \vec{O P} + r \cdot {\vec{n}}_{E}$
  $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$
  Eine Gleichung der Geraden $g$ durch den Punkt $P$ , die zur Ebene $E$ senkrecht steht, ist $g : \vec{x} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 4 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array})$
  Bestimme den Schnittpunkt $L$ von $g$ und E
  Setze $g$ in $E$ ein:
  $- (- 2 - r) + (4 + r) = 5 \Rightarrow 2 + r + 4 + r = 5 \Rightarrow 6 + 2 r = 5 \Rightarrow 2 r = - 1 \Rightarrow r = - \frac{1}{2}$
  Setze $r = - \frac{1}{2}$ in $g$ ein:
  ${\vec{x}}_{L} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 4 \end{array}) - \frac{1}{2} \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1,5 \\ 3,5 \end{array}) \Rightarrow L (4 | - 1,5 | 3,5)$
  Der Schnittpunkt von $g$ und E ist $L (4 | - 1,5 | 3,5)$ .
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  Teil 1
  Setze die Koordinaten von $P$ in $E$ ein.
  Teil 2
  Lies aus der Ebenengleichung den Normalenvektor ab.
  Dieser Normalenvektor ist der Richtungsvektor von g.
  $g : \vec{x} = \vec{O P} + r \cdot {\vec{n}}_{E}$
  Teil 3
  Setze $g$ in $E$ ein.
2. Für den Punkt $Q$ gilt: $\vec{O Q} = \vec{O P} + 2 \cdot \vec{P L}$ .
  Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $Q$ . Fertigen Sie ohne Verwendung eines Koordinatensystems eine Skizze an, aus der die gegenseitige Lage der Punkte $Q$ , $P$ und der Ebene $E$ hervorgeht. [3 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spiegelungen in der analytischen Geometrie
  Berechne die Koordinaten des Punktes $Q$
  $\vec{O Q} = \vec{O P} + 2 \cdot \vec{P L} = (\begin{array}{c} 4 \\ - 2 \\ 4 \end{array}) + 2 \cdot (\begin{array}{c} 4 - 4 \\ - 1,5 - (- 2) \\ 3,5 - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) \Rightarrow Q (4 | - 1 | 3)$
  Die Koordinaten des Punktes $Q$ sind $Q (4 | - 1 | 3)$ .
  Fertige ohne Verwendung eines Koordinatensystems eine Skizze an, aus der die gegenseitige Lage der Punkte $Q$ , $P$ und der Ebene $E$ hervorgeht
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  Teil 1
  Setze die bekannten Werte in $\vec{O Q} = \vec{O P} + 2 \cdot \vec{P L}$ ein.
  Teil 2
  $Q$ ist der Spiegelpunkt von $P$ bezüglich der Ebene $E$ . Fertige dazu eine Zeichnung an.
2
Im $ℝ^{3}$ sind die beiden Vektoren $\vec{a} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array})$ und $\vec{b} = (\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 0 \end{array})$ gegeben. Bestimmen Sie einen Vektor $\vec{c}$ , der senkrecht zu $\vec{a}$ und $\vec{b}$ steht, und begründen Sie ohne Rechnung, ob die Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ eine Basis des $ℝ^{3}$ bilden. Überprüfen Sie auch, ob die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ senkrecht aufeinander stehen. [4 BE]
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt
Bestimme einen Vektor $\vec{c}$ , der senkrecht zu $\vec{a}$ und $\vec{b}$ steht
Berechne das Kreuzprodukt der beiden Vektoren:
$\vec{c} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 20 \\ 4 \\ 11 \end{array})$
Der Vektor $\vec{c}$ , der senkrecht zu $\vec{a}$ und $\vec{b}$ steht, ist $\vec{c} = (\begin{array}{c} - 20 \\ 4 \\ 11 \end{array})$ .
Begründe ohne Rechnung, ob die Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ eine Basis des $ℝ^{3}$ bilden
Ja, die drei Vektoren bilden eine Basis, da $\vec{a}$ und $\vec{b}$ keine Vielfache voneinander sind (sie sind nicht kollinear) und $\vec{c}$ steht senkrecht auf $\vec{a}$ und $\vec{b}$ .
Überprüfe auch, ob die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ senkrecht aufeinander stehen
$\vec{a} ⟂ \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \circ \vec{b} = 0$
$\vec{a} \circ \vec{b} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 0 \end{array}) = 2 - 5 + 0 = - 3 \neq 0$
Die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ stehen nicht senkrecht aufeinander.
Teil 1
Berechne das Kreuzprodukt der beiden Vektoren.
Teil 2
Prüfe, ob $\vec{a}$ und $\vec{b}$ Vielfache voneinander sind. Außerdem gilt: $\vec{c}$ steht senkrecht auf $\vec{a}$ und auf $\vec{b}$ .
Teil 3
$\vec{a} ⟂ \vec{b}$ $\Rightarrow$ $\vec{a} \circ \vec{b} = 0$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil 1 Lineare Algebra

Zeige, dass der Punkt P nicht in der Ebene E liegt

Gib eine Gleichung der Geraden g durch den Punkt P an, die zur Ebene E senkrecht steht

Bestimme den Schnittpunkt L von g und E

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Berechne die Koordinaten des Punktes Q

Fertige ohne Verwendung eines Koordinatensystems eine Skizze an, aus der die gegenseitige Lage der Punkte Q, P und der Ebene E hervorgeht

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Bestimme einen Vektor c→, der senkrecht zu a→ und b→ steht

Begründe ohne Rechnung, ob die Vektoren a→, b→ und c→ eine Basis des ℝ3 bilden

Überprüfe auch, ob die Vektoren a→ und b→ senkrecht aufeinander stehen

Zeige, dass der Punkt $P$ nicht in der Ebene $E$ liegt

Gib eine Gleichung der Geraden $g$ durch den Punkt $P$ an, die zur Ebene $E$ senkrecht steht

Bestimme den Schnittpunkt $L$ von $g$ und E

Berechne die Koordinaten des Punktes $Q$

Fertige ohne Verwendung eines Koordinatensystems eine Skizze an, aus der die gegenseitige Lage der Punkte $Q$ , $P$ und der Ebene $E$ hervorgeht

Bestimme einen Vektor $\vec{c}$ , der senkrecht zu $\vec{a}$ und $\vec{b}$ steht

Begründe ohne Rechnung, ob die Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{b}$ und $\vec{c}$ eine Basis des $ℝ^{3}$ bilden

Überprüfe auch, ob die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ senkrecht aufeinander stehen