Teil 1 Lineare Algebra

In einem kartesischen Koordinatensystem des ${\mathbb{R}}^3\backslash mathbb\{R\}^3$ sind die Ebene $E:-x_2+x_3=5E:\; -x\_2+x\_3=5$ und der Punkt $P(4\mathrm{\mid }-2\mathrm{\mid }4)P(4|\; -\; 2|4)$ gegeben.

Im ${\mathbb{R}}^3\backslash mathbb\{R\}^3$ sind die beiden Vektoren $\vec{a}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 4\end{array}\right)\backslash vec\{a\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 2\; \backslash \backslash \; -1\; \backslash \backslash \; 4\; \backslash end\{pmatrix\}$ und $\vec{b}=\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 0\end{array}\right)\backslash vec\{b\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; 5\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash end\{pmatrix\}$ gegeben. Bestimmen Sie einen Vektor $\vec{c}\backslash vec\{c\}$, der senkrecht zu $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ und $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ steht, und begründen Sie ohne Rechnung, ob die Vektoren $\vec{a}\backslash vec\{a\}$, $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ und $\vec{c}\backslash vec\{c\}$ eine Basis des ${\mathbb{R}}^3\backslash mathbb\{R\}^3$ bilden. Überprüfen Sie auch, ob die Vektoren $\vec{a}\backslash vec\{a\}$ und $\vec{b}\backslash vec\{b\}$ senkrecht aufeinander stehen.