Aufgaben zur Basis

Die drei Vektoren bilden eine Basis, wenn sie nicht komplanar sind, also nicht in einer Ebene liegen.

Zeige dafür, dass $r_1\cdot \overrightarrow{b_1}+r_2\cdot \overrightarrow{b_2}=\overrightarrow{b_3}r\_1\backslash cdot\; \backslash vec\{b\_1\}+r\_2\backslash cdot\backslash vec\{b\_2\}=\backslash vec\{b\_3\}$ keine Lösung hat.

$r_1\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)+r_2\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 4\end{array}\right)r\_1\backslash cdot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 2\backslash \backslash 1\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}+r\_2\backslash cdot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 0\backslash \backslash -1\backslash \backslash -2\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; -1\backslash \backslash 1\backslash \backslash 4\backslash end\{pmatrix\}$

Daraus entsteht ein überbestimmtes System mit drei Gleichungen, aber nur zwei Unbekannten:

Beim überbestimmten System kannst du eine Gleichung während der Berechnung ignorieren und setzt dann die gefundenen Ergebnisse am Ende in diese Gleichung ein.

Ignoriere zunächst die Gleichung III und teile die Gleichung I durch 2:

$I)r_1=-\frac{1}{2}I)\; r\_1=\; -\backslash frac\; 1\; 2$

Setze in Gleichung II ein:

Setze die gefundene Lösung in Gleichung III ein:

$III)-\frac{1}{2}-2\cdot (-\mathrm{1,5})=4III)\mathrm{2,5}\mathrm{\ne }4III)\; -\backslash frac\; 1\; 2-2\backslash cdot\; (-1\{,\}5)=4\backslash \backslash \; III)\; 2\{,\}5\backslash neq4$

Das System hat also keine Lösung, da die dritte Gleichung keine wahre Aussage liefert.

Damit sind die drei Vektoren linear unabhängig und bilden eine Basis.

Die drei Vektoren bilden eine Basis, wenn sie nicht komplanar sind, also nicht in einer Ebene liegen.

Zeige dafür, dass $r_1\cdot \overrightarrow{b_1}+r_2\cdot \overrightarrow{b_2}=\overrightarrow{b_3}r\_1\backslash cdot\; \backslash vec\{b\_1\}+r\_2\backslash cdot\backslash vec\{b\_2\}=\backslash vec\{b\_3\}$ keine Lösung hat.

$r_1\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 1\\ 9\end{array}\right)+r_2\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ -9\end{array}\right)r\_1\backslash cdot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 3\backslash \backslash 1\backslash \backslash 9\backslash end\{pmatrix\}+r\_2\backslash cdot\; \backslash begin\{pmatrix\}\; -1\backslash \backslash 0\backslash \backslash -3\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; -3\backslash \backslash 1\backslash \backslash -9\backslash end\{pmatrix\}$

Daraus entsteht ein überbestimmtes System mit drei Gleichungen, aber nur zwei Unbekannten:

Beim überbestimmten System kannst du eine Gleichung während der Berechnung ignorieren und setzt dann die gefundenen Ergebnisse am Ende in diese Gleichung ein.

Da Gleichung II) direkt die Lösung $r_1=1r\_1=1$ liefert, kannst du diese in Gleichung I) einsetzen:

Setze beide Werte in Gleichung III ein:

$III)9\cdot 1-3\cdot 6=-9III)\; 9\backslash cdot\; 1-3\backslash cdot\; 6=-9$

$III)-9=-9III)\; -9=-9$

Da das System somit eine eindeutige Lösung hat, sind die drei Vektoren linear abhängig und liegen in einer Ebene. Drei linear abhängige Vektoren bilden keine Basis des ${\mathbb{R}}^3\backslash R^3$.