Aufgaben zur Basis
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PrĂŒfe, ob es sich bei um eine Basis des handelt.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Basis eines Vektorraums
Die drei Vektoren bilden eine Basis, wenn sie nicht komplanar sind, also nicht in einer Ebene liegen.
Zeige dafĂŒr, dass keine Lösung hat.
Daraus entsteht ein ĂŒberbestimmtes System mit drei Gleichungen, aber nur zwei Unbekannten:
Beim ĂŒberbestimmten System kannst du eine Gleichung wĂ€hrend der Berechnung ignorieren und setzt dann die gefundenen Ergebnisse am Ende in diese Gleichung ein.
Ignoriere zunÀchst die Gleichung III und teile die Gleichung I durch 2:
Setze in Gleichung II ein:
Setze die gefundene Lösung in Gleichung III ein:
Das System hat also keine Lösung, da die dritte Gleichung keine wahre Aussage liefert.
Damit sind die drei Vektoren linear unabhÀngig und bilden eine Basis.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Du musst zeigen, dass die drei Vektoren nicht in einer Ebene liegen.
Am einfachsten geht das, indem du zeigst, dass sich einer der Vektoren nicht als Linearkombination der beiden anderen darstellen lÀsst.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Basis eines Vektorraums
Die drei Vektoren bilden eine Basis, wenn sie nicht komplanar sind, also nicht in einer Ebene liegen.
Zeige dafĂŒr, dass keine Lösung hat.
Daraus entsteht ein ĂŒberbestimmtes System mit drei Gleichungen, aber nur zwei Unbekannten:
Beim ĂŒberbestimmten System kannst du eine Gleichung wĂ€hrend der Berechnung ignorieren und setzt dann die gefundenen Ergebnisse am Ende in diese Gleichung ein.
Da Gleichung II) direkt die Lösung liefert, kannst du diese in Gleichung I) einsetzen:
Setze beide Werte in Gleichung III ein:
Da das System somit eine eindeutige Lösung hat, sind die drei Vektoren linear abhÀngig und liegen in einer Ebene. Drei linear abhÀngige Vektoren bilden keine Basis des .
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Du musst ĂŒberprĂŒfen, dass die drei Vektoren nicht in einer Ebene liegen.
Am einfachsten geht das, indem du zeigst, dass sich einer der Vektoren nicht als Linearkombination der beiden anderen darstellen lÀsst.
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