Teil 2 Analysis II

Bestimmen Sie $D_{h}D\_h$, die Nullstellen von $hh$ und geben Sie die Art der Definitionslücken von $hh$ an.

Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen $G_{h}G\_h$ an.

Gegeben ist die Funktion $f:x\mapsto f(x)={\displaystyle \frac{3x-2}{-2x^2+4}}f:\; x\backslash mapsto\; f(x)=\backslash dfrac\{3x-2\}\{-2x^2+4\}$ mit der maximalen Definitionsmenge $D_f\subset \mathbb{R}D\_f\backslash subset\; \backslash mathbb\{R\}$. Der Graph der Funktion $ff$ heißt $G_{f}G\_f$.

1. Geben Sie die maximale Definitionsmenge von $ff$ an und zeigen Sie, dass $h(x)=f(x)h(x)=\; f(x)$ für alle $x\in D_h\cap D_{f}x\backslash in\; D\_h\backslash cap\; D\_f$ gilt.

2. Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle des Graphen $G_{f}G\_f$.

[ Mögliches Teilergebnis: $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{6x^2-8x+12}{(2x^2-4{)}^2}}f\text{'}(x)=\backslash dfrac\{6x^2-8x+12\}\{(2x^2-4)^2\}$ ]

3. Zeichnen Sie die Asymptoten von $G_{f}G\_f$ in ein kartesisches Koordinatensystem und fertigen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte eine Skizze des Graphen $G_{f}G\_f$ an.

4. Erstellen Sie eine Wertetabelle der ersten Ableitungsfunktion $f^{\mathrm{\prime }}f\text{'}$ für $-\mathrm{0,5}\le x\le \mathrm{1,25}-0\{,\}5\backslash le\; x\backslash le1\{,\}25$ mit der Schrittweite ∆$x=\mathrm{0,25}x\; =0\{,\}25$ auf zwei Nachkommastellen gerundet. Begründen Sie mithilfe der Wertetabelle, dass $G_{f}G\_f$ einen Wendepunkt besitzen muss. Entscheiden Sie, in welchem Quadranten dieser Wendepunkt liegt und begründen Sie diese Entscheidung.

Am fünften Geburtstag $(t=5)(t\; =\; 5)$ beträgt das durchschnittliche Gehirnvolumen des Menschen etwa $1260ml1260\backslash \; ml$. Berechnen Sie hiermit den Wert der Konstanten $aa$. Runden Sie das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

[ Ergebnis: $a\approx \mathrm{1,4}a\backslash approx\; 1\{,\}4$ ]

In einer Untersuchung kurz nach der Geburt wird bei einem ausgewählten Kind ein Gehirnvolumen von $390ml390\backslash \; ml$ festgestellt. Berechnen Sie das durchschnittliche Volumen des Gehirns bei der Geburt laut dem Modell sowie die prozentuale Abweichung des bei der Untersuchung gemessenen Wertes vom Volumenwert des Modells.

Zeigen Sie, dass für die Volumenwachstumsgeschwindigkeit nach dem Modell gilt: $V(t)={\displaystyle \frac{\mathrm{4420,5}\cdot e^{-\mathrm{1,4}t}}{(1+\mathrm{2,5}\cdot e^{-\mathrm{1,4}t}{)}^2}}V(t)=\backslash dfrac\{4420\{,\}5\backslash cdot\; e^\{-1\{,\}4t\}\}\{(1+2\{,\}5\backslash cdot\; e^\{-1\{,\}4t\})^2\}$. Begründen Sie mathematisch, dass das Gehirnvolumen echt monoton zunimmt, und berechnen Sie das durchschnittliche Gehirnvolumen nach dem Modell am Ende des 6. Lebensjahres.

Zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion $VV$für $0\le t\le 60\backslash le\; t\backslash le6$ in ein kartesisches Koordinatensystem.

Das menschliche Gehirn ist in der Regel im Alter von $1010$ Jahren ausgewachsen und besitzt dann ein durchschnittliches Volumen von $1400\text{ ml}1400\backslash ml$. Untersuchen Sie, ob die gewählte Modellfunktion das Gehirnvolumen im Alter von $1010$ Jahren noch richtig beschreibt.