A II

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Gegeben ist die Funktion $h : x \mapsto \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x}{x^{2} + 2 x}$ in der maximalen Definitionsmenge $D_{h} \subset ℝ$ .
1. Bestimmen Sie $D_{h}$ , prüfen Sie $h$ auf Nullstellen und folgern Sie daraus die Art der Definitionslücken. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte bei Annäherung an die Definitionslücken.
2. Die Funktion $f : x \mapsto \frac{x^{2} + 3 x + 3}{x + 2}$ mit $D_{f}$ = $ℝ$ \ {–2} ist die stetige Fortsetzung der Funktion $h$ (Nachweis nicht erforderlich). Ihr Graph wird mit $G_{f}$ bezeichnet.
  1) Zeigen Sie, dass sich die Gleichung der Funktion $f$ auch in der Form $f (x) = x + 1 + \frac{1}{x + 2}$ darstellen lässt und geben Sie jeweils die Gleichung und die Art aller Asymptoten von $G_{f}$ an.
  2) Untersuchen Sie, ob sich der Graph $G_{f}$ für $x \mapsto \infty$ von oben oder von unten der schiefen Asymptote annähert.
  3) Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle sowie die Art und Koordinaten der Extrempunkte von $G_{f}$ .
  [ Mögliches Teilergebnis: $f^{'} (x) = \frac{x^{2} + 4 x + 3}{(x + 2)^{2}}$ ]
  4) Zeichnen Sie den Graphen $G_{f}$ und seine Asymptoten für $- 4 \leq x \leq 5$ in ein kartesisches Koordinatensystem.
  5) Berechnen Sie das bestimmte Integral $\int_{0}^{4} ((f (x) - (x + 1)) d x$ auf zwei Nachkommastellen gerundet und schraffieren Sie die zugehörige Fläche im Koordinatensystem der Teilaufgabe 1.b.4.
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Das Haber-Bosch-Verfahren dient zur Herstellung von Ammoniak, der wesentliche Ausgangsstoff zur Düngemittelproduktion ist und deshalb eine außerordentliche Bedeutung für die Nahrungsversorgung der Weltbevölkerung besitzt. Die Ammoniakausbeute beim Haber-Bosch-Verfahren ist temperatur- und druckabhängig. Bei einem Druck von 300 bar und einem Temperaturbereich von $200 ° C \leq T \leq 700 ° C$ besteht eine funktionale Abhängigkeit zwischen der Ammoniakausbeute $A$ in Prozent und der Temperatur $T$ in $C °$ . Die Funktion $A$ mit der Gleichung $A (T) = \frac{7200}{72 + e^{0,0106 T}}$ und der Definitionsmenge $D_{A} = [200; 700]$ beschreibt näherungsweise diesen Zusammenhang. Auf die Temperatureinheit $C °$ und das Prozentzeichen % kann bei den Rechnungen verzichtet werden. Die Temperaturangaben sind auf ganze Zahlen zu runden.
1. Bestimmen Sie das Monotonieverhalten der Funktion $A$ .
  [ Mögliches Teilergebnis: $A^{'} (T) = \frac{- 76,32 e^{0,0106 T}}{(72 + e^{0,0106 T})^{2}}]$
2. Die folgende Berechnung der zweiten Ableitung enthält einen Fehler. Benennen Sie den Fehler in Worten und geben Sie den Term der zweiten Ableitung richtig an.
  $A^{''} (T) = \frac{- 76,32 e^{0,0106 T} \cdot 0,0106 \cdot (72 + e^{0,0106})^{2} - (- 76,32 e^{0,0106 T}) \cdot 2 \cdot (72 + e^{0,0106}) \cdot e^{0,0106 T} \cdot 0,0106}{(72 + e^{0,0106 T})^{2}}$
  $A^{''} (T) = \frac{- 76,32 e^{0,0106 T} \cdot 0,0106 \cdot (72 + e^{0,0106}) - (- 76,32 e^{0,0106 T}) \cdot 2 \cdot (72 + e^{0,0106}) \cdot e^{0,0106 T} \cdot 0,0106}{72 + e^{0,0106 T}}$
  $A^{''} (T) = \frac{- 76,32 e^{0,0106 T} \cdot 0,0106 \cdot ((72 + e^{0,0106}) - 2 \cdot e^{0,0106})}{72 + e^{0,0106 T}}$
  $A^{''} (T) = \frac{- 76,32 e^{0,0106 T} \cdot 0,0106 \cdot (72 - e^{0,0106})}{72 + e^{0,0106 T}}$
3. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion A für den angegebenen Temperaturbereich in ein geeignetes Koordinatensystem.
  (Maßstab: $1 cm \hat{=} 50 C °$ auf der Abszisse, $1 c m \hat{=} 10 %$ auf der Ordinate).
  Lesen Sie die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen der Funktion $A$ näherungsweise aus der Zeichnung ab und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang.
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Zwischen dem Alter einer Eiche in Jahren und ihrem Stammdurchmesser $x$ in Metern besteht ein funktionaler Zusammenhang $j$ , der modellhaft durch die Gleichung $j (x) = 80 \ln (\frac{60 x}{30 - x})$ beschrieben ist. Der Schnitt durch den Stamm der Eiche wird dabei näherungsweise als Kreis angenommen. Der Durchmesser wird in einer Höhe von $1,30 m$ über dem Boden gemessen. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $j$ mit der Definitionsmenge $D_{j} = [0,067; 2,95]$ .
Der Graph $G_{j}$ der Funktion $j$ besitzt einen Wendepunkt. Die Altersangaben sind auf ganze Jahre zu runden. Auf die Mitführung von Einheiten kann verzichtet werden.
1. Bestimmen Sie das Alter einer Eiche, wenn in einer Höhe von $1,30 m$ der Umfang des Stammes $600 cm$ beträgt.
2. Ermitteln Sie die Wertemenge der Funktion $j$ - auch unter Verwendung des Graphen von 3) - und interpretieren Sie Ihr Ergebnis im Sachzusammenhang.
3. Eine der folgenden vier Abbildungen zeigt den Graphen der ersten Ableitungsfunktion $j^{'}$ . Geben Sie den Buchstaben des richtigen Graphen an und stützen Sie Ihre Wahl durch ein bekräftigendes Argument. Begründen Sie für jeden anderen Graphen mit einem stichhaltigen Argument, warum dieser nicht in Frage kommt.
4. Gegeben ist die Gleichung der zweiten Ableitung $j^{''} (x) = \frac{- 240 (3 - 2 x)}{(3 x - x^{2})^{2}}$ der Funktion $j$ (Nachweis nicht erforderlich!). Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes $W$ von $G_{j}$ und erläutern Sie die Bedeutung im Sachzusammenhang.

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