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🎓 PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern

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  1. 1

    Gegeben ist die Funktion h:x↩x3+3x2+3xx2+2xh: x\mapsto \dfrac{x^3+3x^2+3x}{x^2+2x} in der maximalen Definitionsmenge Dh⊂RD_h\subset\mathbb{R}.

    1. Bestimmen Sie DhD_h, prĂŒfen Sie hh auf Nullstellen und folgern Sie daraus die Art der DefinitionslĂŒcken. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte bei AnnĂ€herung an die DefinitionslĂŒcken.

    2. Die Funktion f:x↩x2+3x+3x+2f: x\mapsto \dfrac{x^2+3x+3}{x+2} mit DfD_f =R\mathbb{R} \ {–2} ist die stetige Fortsetzung der Funktion hh (Nachweis nicht erforderlich). Ihr Graph wird mit GfG_f bezeichnet.

      1) Zeigen Sie, dass sich die Gleichung der Funktion ff auch in der Form f(x)=x+1+1x+2f(x)=x+1+\dfrac{1}{x+2} darstellen lÀsst und geben Sie jeweils die Gleichung und die Art aller Asymptoten von GfG_f an.

      2) Untersuchen Sie, ob sich der Graph GfG_f fĂŒr x↩∞x\mapsto \infty von oben oder von unten der schiefen Asymptote annĂ€hert.

      3) Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle sowie die Art und Koordinaten der Extrempunkte von GfG_f.

      [ Mögliches Teilergebnis: fâ€Č(x)=x2+4x+3(x+2)2f'(x)=\dfrac{x^2+4x+3}{(x+2)^2} ]

      4) Zeichnen Sie den Graphen GfG_f und seine Asymptoten fĂŒr −4≀x≀5-4\le x\le 5 in ein kartesisches Koordinatensystem.

      5) Berechnen Sie das bestimmte Integral ∫04((f(x)−(x+1))dx\int_{0}^{4}( (f(x)-(x+1)) \mathrm{d}x auf zwei Nachkommastellen gerundet und schraffieren Sie die zugehörige FlĂ€che im Koordinatensystem der Teilaufgabe 1.b.4.

  2. 2

    Das Haber-Bosch-Verfahren dient zur Herstellung von Ammoniak, der wesentliche Ausgangsstoff zur DĂŒngemittelproduktion ist und deshalb eine außerordentliche Bedeutung fĂŒr die Nahrungsversorgung der Weltbevölkerung besitzt. Die Ammoniakausbeute beim Haber-Bosch-Verfahren ist temperatur- und druckabhĂ€ngig. Bei einem Druck von 300 bar und einem Temperaturbereich von 200°C≀T≀700°C200°C\le T\le 700°C besteht eine funktionale AbhĂ€ngigkeit zwischen der Ammoniakausbeute AA in Prozent und der Temperatur TT in C°C°. Die Funktion AA mit der Gleichung A(T)=720072+e0,0106TA(T)=\dfrac{7200}{72+e^{0{,}0106T}} und der Definitionsmenge DA=[200;700]D_A=[200;700] beschreibt nĂ€herungsweise diesen Zusammenhang. Auf die Temperatureinheit C°C° und das Prozentzeichen % kann bei den Rechnungen verzichtet werden. Die Temperaturangaben sind auf ganze Zahlen zu runden.

    1. Bestimmen Sie das Monotonieverhalten der Funktion AA.

      [ Mögliches Teilergebnis: Aâ€Č(T)=−76,32e0,0106T(72+e0,0106T)2]A'(T)=\dfrac{-76{,}32e^{0{,}0106T}}{(72+e^{0{,}0106T})^2}]

    2. Die folgende Berechnung der zweiten Ableitung enthÀlt einen Fehler. Benennen Sie den Fehler in Worten und geben Sie den Term der zweiten Ableitung richtig an.

      Aâ€Čâ€Č(T)=−76,32e0,0106T⋅0,0106⋅(72+e0,0106)2−(−76,32e0,0106T)⋅2⋅(72+e0,0106)⋅e0,0106T⋅0,0106(72+e0,0106T)2A''(T)=\dfrac{-76{,}32e^{0{,}0106T}\cdot 0{,}0106\cdot (72+e^{0{,}0106})^2-(-76{,}32e^{0{,}0106T})\cdot 2\cdot (72+e^{0{,}0106})\cdot e^{0{,}0106T}\cdot 0{,}0106}{(72+e^{0{,}0106T})^2}

      Aâ€Čâ€Č(T)=−76,32e0,0106T⋅0,0106⋅(72+e0,0106)−(−76,32e0,0106T)⋅2⋅(72+e0,0106)⋅e0,0106T⋅0,010672+e0,0106TA''(T)=\dfrac{-76{,}32e^{0{,}0106T}\cdot 0{,}0106\cdot (72+e^{0{,}0106})-(-76{,}32e^{0{,}0106T})\cdot 2\cdot (72+e^{0{,}0106})\cdot e^{0{,}0106T}\cdot 0{,}0106}{72+e^{0{,}0106T}}

      Aâ€Čâ€Č(T)=−76,32e0,0106T⋅0,0106⋅((72+e0,0106)−2⋅e0,0106)72+e0,0106TA''(T)=\dfrac{-76{,}32e^{0{,}0106T}\cdot 0{,}0106\cdot ((72+e^{0{,}0106})- 2\cdot e^{0{,}0106})}{72+e^{0{,}0106T}}

      Aâ€Čâ€Č(T)=−76,32e0,0106T⋅0,0106⋅(72−e0,0106)72+e0,0106TA''(T)=\dfrac{-76{,}32e^{0{,}0106T}\cdot 0{,}0106\cdot (72-e^{0{,}0106})}{72+e^{0{,}0106T}}

    3. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion A fĂŒr den angegebenen Temperaturbereich in ein geeignetes Koordinatensystem.

      (Maßstab: 1 cm50C°1 \cm \mathop{\widehat{=}} 50C° auf der Abszisse, 1cm10%1 cm \mathop{\widehat{=}} 10\% auf der Ordinate).

      Lesen Sie die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen der Funktion AAnÀherungsweise aus der Zeichnung ab und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang.

  3. 3

    Zwischen dem Alter einer Eiche in Jahren und ihrem Stammdurchmesser xx in Metern besteht ein funktionaler Zusammenhang jj, der modellhaft durch die Gleichung j(x)=80ln⁥(60x30−x)j(x)=80\ln(\dfrac{60x}{30-x}) beschrieben ist. Der Schnitt durch den Stamm der Eiche wird dabei nĂ€herungsweise als Kreis angenommen. Der Durchmesser wird in einer Höhe von 1,30 m1{,}30 \m ĂŒber dem Boden gemessen. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion jj mit der Definitionsmenge Dj=[0,067;2,95]D_j=[0{,}067; 2{,}95].

    Bild

    Der Graph GjG_j der Funktion jj besitzt einen Wendepunkt. Die Altersangaben sind auf ganze Jahre zu runden. Auf die MitfĂŒhrung von Einheiten kann verzichtet werden.

    1. Bestimmen Sie das Alter einer Eiche, wenn in einer Höhe von 1,30 m1{,}30 \m der Umfang des Stammes 600 cm600 \cm betrĂ€gt.

    2. Ermitteln Sie die Wertemenge der Funktion jj - auch unter Verwendung des Graphen von 3) - und interpretieren Sie Ihr Ergebnis im Sachzusammenhang.

    3. Eine der folgenden vier Abbildungen zeigt den Graphen der ersten Ableitungsfunktion jâ€Čj'. Geben Sie den Buchstaben des richtigen Graphen an und stĂŒtzen Sie Ihre Wahl durch ein bekrĂ€ftigendes Argument. BegrĂŒnden Sie fĂŒr jeden anderen Graphen mit einem stichhaltigen Argument, warum dieser nicht in Frage kommt.

      Bild
    4. Gegeben ist die Gleichung der zweiten Ableitung jâ€Čâ€Č(x)=−240(3−2x)(3x−x2)2j''(x)=\dfrac{-240(3-2x)}{(3x-x^2)^2} der Funktion jj (Nachweis nicht erforderlich!). Berechnen Sie die Koordinaten des Wendepunktes WW von GjG_j und erlĂ€utern Sie die Bedeutung im Sachzusammenhang.


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