Teil 2 Analysis II

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Gegeben ist die Funktion $h : x \mapsto h (x) = \frac{3 x^{2} - 2 x}{- 2 x^{3} + 4 x}$ mit der maximalen Definitionsmenge $D_{h} \subset ℝ$ . Der Graph der Funktion $h$ heißt $G_{h}$ .
1. Bestimmen Sie $D_{h}$ , die Nullstellen von $h$ und geben Sie die Art der Definitionslücken von $h$ an.
2. Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen $G_{h}$ an.
3. Gegeben ist die Funktion $f : x \mapsto f (x) = \frac{3 x - 2}{- 2 x^{2} + 4}$ mit der maximalen Definitionsmenge $D_{f} \subset ℝ$ . Der Graph der Funktion $f$ heißt $G_{f}$ .
  1. Geben Sie die maximale Definitionsmenge von $f$ an und zeigen Sie, dass $h (x) = f (x)$ für alle $x \in D_{h} \cap D_{f}$ gilt.
  2. Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle des Graphen $G_{f}$ .
  [ Mögliches Teilergebnis: $f^{'} (x) = \frac{6 x^{2} - 8 x + 12}{(2 x^{2} - 4)^{2}}$ ]
  3. Zeichnen Sie die Asymptoten von $G_{f}$ in ein kartesisches Koordinatensystem und fertigen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte eine Skizze des Graphen $G_{f}$ an.
  4. Erstellen Sie eine Wertetabelle der ersten Ableitungsfunktion $f^{'}$ für $- 0,5 \leq x \leq 1,25$ mit der Schrittweite ∆ $x = 0,25$ auf zwei Nachkommastellen gerundet. Begründen Sie mithilfe der Wertetabelle, dass $G_{f}$ einen Wendepunkt besitzen muss. Entscheiden Sie, in welchem Quadranten dieser Wendepunkt liegt und begründen Sie diese Entscheidung.
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Forschungsergebnisse betonen die Bedeutung des Wachstums des menschlichen Gehirns für die Entwicklung kognitiver Fähigkeiten. Das durchschnittliche Gehirnvolumen des Menschen nach der Geburt bis zum Ende des sechsten Lebensjahres kann näherungsweise durch die Funktion $V : t \mapsto \frac{1263}{1 + 2,5 \cdot e^{- a \cdot t}}$ mit $t \in [0; 6]$ sowie $a \in ℝ^{+}$ modelliert werden. Dabei entspricht $V (t)$ dem Gehirnvolumen in Millilitern ( $ml$ ) zum Zeitpunkt $t$ in Jahren nach der Geburt. In den Rechnungen kann auf die Mitführung von Einheiten verzichtet werden, in den Antworten sind diese zu berücksichtigen.
1. Am fünften Geburtstag $(t = 5)$ beträgt das durchschnittliche Gehirnvolumen des Menschen etwa $1260 m l$ . Berechnen Sie hiermit den Wert der Konstanten $a$ . Runden Sie das Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
  [ Ergebnis: $a \approx 1,4$ ]
2. In einer Untersuchung kurz nach der Geburt wird bei einem ausgewählten Kind ein Gehirnvolumen von $390 m l$ festgestellt. Berechnen Sie das durchschnittliche Volumen des Gehirns bei der Geburt laut dem Modell sowie die prozentuale Abweichung des bei der Untersuchung gemessenen Wertes vom Volumenwert des Modells.
3. Zeigen Sie, dass für die Volumenwachstumsgeschwindigkeit nach dem Modell gilt: $V (t) = \frac{4420,5 \cdot e^{- 1,4 t}}{(1 + 2,5 \cdot e^{- 1,4 t})^{2}}$ . Begründen Sie mathematisch, dass das Gehirnvolumen echt monoton zunimmt, und berechnen Sie das durchschnittliche Gehirnvolumen nach dem Modell am Ende des 6. Lebensjahres.
4. Zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion $V$ für $0 \leq t \leq 6$ in ein kartesisches Koordinatensystem.
5. Das menschliche Gehirn ist in der Regel im Alter von $10$ Jahren ausgewachsen und besitzt dann ein durchschnittliches Volumen von $1400 ml$ . Untersuchen Sie, ob die gewählte Modellfunktion das Gehirnvolumen im Alter von $10$ Jahren noch richtig beschreibt.

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