Teil 1, Analysis

1
Gegeben ist die Funktion $g: x\mapsto e^{-3x}\cdot(-3x-2)$ mit der Definitionsmenge $D_g=\mathbb{R}.$
1. Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von $g$ mit den Koordinaten-achsen an.
2. Widerlegen Sie die folgende Aussage: „Die Funktion $g$ ist umkehrbar.“
3. Ermitteln Sie eine integralfreie Darstellung von $\int g(x) \mathrm{d}x.$
2
Gegeben ist die Funktion $f: x\mapsto \dfrac{\pi}{4}-\arctan\begin{pmatrix}\dfrac{1-x}{x}\end{pmatrix}$ mit der Definitionsmenge $D_f=\mathbb{R}^+$ .
In der Abbildung ist ein Ausschnitt des Graphen der Funktion $x\mapsto \arctan(x)$ mit $\mathbb{R}$ als Definitionsmenge zu sehen.
Für die nachfolgenden Teilaufgaben dürfen aus dieser Abbildung evtl. benötigte Funktionswerte entnommen werden.
1. Ermitteln Sie das Verhalten der Funktionswerte von $f$ an den Rändern von $D_{f}$ .
2. Berechnen Sie die Nullstelle von $f$ .
3
Gegeben ist die umkehrbare Funktion $h:x\mapsto \ln\begin{pmatrix} \dfrac{4-x^2}{2+x^2} \end{pmatrix}$ mit der Definitionsmenge $D_{h} =] - 2; 0]$ . Ihre Umkehrfunktion wird mit $h^{- 1}$ bezeichnet.
1. Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $h^{- 1}$ mit der $y$ -Achse.
2. Ermitteln Sie die Steigung der Tangente am Graphen von $h^{- 1}$ im Punkt $B (? ∣ - 1)$ .
  [ Mögliches Teilergebnis: $h'(x)=\dfrac{12x}{x^4-2x^2-8}$ ]

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