Teil 2 Lineare Algebra und analytische Geometrie I: mit Hilfsmitteln

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Für die Bühnenbeleuchtung einer Theateraufführung an einer Beruflichen Oberschule wird ein Scheinwerfer (siehe Bild 1) installiert. Die Position des Scheinwerfers und der von ihm ausgeleuchtete Raum auf der Bühne wird modellhaft in einem kartesischen Koordinatensystem des $\mathbb{R}^3$ beschrieben. Die $x_{1} - x_{2}$ Ebene des Koordinatensystems wird durch den Bühnenboden festgelegt. Die rechteckige Glasfläche des Scheinwerfers hat die Ecken
$A (2 ∣ 0 ∣ 31)$ , $B (- 1 ∣ 2 ∣ 30)$ , $C (- 2 ∣ 0 ∣ 29)$ und $D (1 ∣ - 2 ∣ 30)$ .
Die Vollausleuchtung mit dem
Scheinwerfer ohne Berücksichtigung des Halbschattens kann in guter Näherung durch den Körper $P Q R T A B C D$ (siehe
Bild 2) beschrieben werden.
Die Punkte $P(\displaystyle\frac{130}{3} | \frac{31}{3}|0),$
$Q (6,5 ∣ 24,5 ∣ 0)$ , $R (- 2 ∣ 5,8 ∣ 0)$
und $T(23{,}5|-5{,}9|0)\$ sind die
Eckpunkte der ausgeleuchteten Fläche $P Q R T$ auf dem Bühnenboden. Die Koordi-
naten sind Längenangaben in der Einheit Dezimeter ( $dm$ ).
Auf die Mitführung von Einheiten während der Rechnungen kann verzichtet werden. Die Ergebnisse sind sinnvoll zu runden.
1. Die Gerade $g_{QB}$ verläuft durch die Punkte $Q$ und $B$ . Die Gerade $g_{RC}$ verläuft durch die
  Punkte $R$ und $C$ . Die Geraden $g_{QB}$ und g $_{R C}$ schneiden sich im Punkt $S$ . Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $S$ .
  [ Ergebnis: $S (- 2 ∣ - 1 ∣ 34)$ ]
  BE: 6
2. Stellen Sie eine Gleichung der Lotgeraden $l$ zur Ebene $E$ , in der sich die Glasfläche $ABCD\$ befindet, durch den Punkt $S$ auf und bestimmen Sie den Abstand des Punktes $S$ zur Ebene $E$ .
  [ Mögliches Teilergebnis: $l$ : $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 30 \end{pmatrix}+t\ \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$ , $t\in \mathbb{R}$ ]
  BE: 8
3. Die Diagonalen des Vierecks $P Q R T$ schneiden sich im Punkt $M (15 ∣ 7,5 ∣ 0)$ .
  (Nachweis nicht erforderlich). Zeigen Sie, dass der Punkt $M$ auf der Geraden $l$ liegt. Berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels der Geraden mit der $x_{1} - x_{2}$ Koordinatenebene.
  BE: 4
4. Der Scheinwerfer besitzt einen Flügelbegrenzer (siehe Bild 3). Der einzustellende Winkel soll für den rechten Flügel berechnet werden. Vereinfachend soll angenommen werden, dass der rechte Flügel in der
  Ebene $F$ liegt, die durch die Punkte $B, A$ und $Q$ festgelegt ist. Berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels zwischen der Ebene $E$ und der Ebene $F$ .
  Schließen Sie anschließend auf die Größe des einzustellenden Winkels $\beta$ zwischen der Glasfläche des Scheinwerfers und dem rechten Flügel des Flügelbegrenzers
  (siehe Bild 4).
  BE: 5

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