Teil 2 Lineare Algebra und analytische Geometrie I: mit Hilfsmitteln

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1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Für die Bühnenbeleuchtung einer Theateraufführung an einer Beruflichen Oberschule wird ein Scheinwerfer (siehe Bild 1) installiert. Die Position des Scheinwerfers und der von ihm ausgeleuchtete Raum auf der Bühne wird modellhaft in einem kartesischen Koordinatensystem des $ℝ^{3}$ beschrieben. Die $x_{1}$ - $x_{2}$ -Ebene des Koordinatensystems wird durch den Bühnenboden festgelegt. Die rechteckige Glasfläche des Scheinwerfers hat die Ecken $A (2 | 0 | 31)$ , $B (- 1 | 2 | 30)$ , $C (- 2 | 0 | 29)$ und $D (1 | - 2 | 30)$ .
Die Vollausleuchtung mit dem
Scheinwerfer ohne Berücksichtigung des Halbschattens kann in guter Näherung durch den Körper $P Q R T A B C D$ (siehe
Bild 2) beschrieben werden.
Die Punkte $P (\frac{130}{3} | \frac{31}{3} | 0),$
$Q (6,5 | 24,5 | 0)$ , $R (- 2 | 5,8 | 0)$
und $T (23,5 | - 5,9 | 0)$ sind die
Eckpunkte der ausgeleuchteten Fläche $P Q R T$ auf dem Bühnenboden. Die Koordi-
naten sind Längenangaben in der Einheit Dezimeter ( $dm$ ).
Auf die Mitführung von Einheiten während der Rechnungen kann verzichtet werden. Die Ergebnisse sind sinnvoll zu runden.
1. Die Gerade $g_{Q B}$ verläuft durch die Punkte $Q$ und $B$ . Die Gerade $g_{R C}$ verläuft durch die
  Punkte $R$ und $C$ . Die Geraden $g_{Q B}$ und g $_{R C}$ schneiden sich im Punkt $S$ . Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $S$ .
  [ Ergebnis: $S (- 2 | - 1 | 34)$ ]
  (6 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung zwischen zwei Geraden
  Berechne die Koordinaten des Punktes $S$
  $g_{Q B} : \vec{x} = \vec{O Q} + r \cdot \vec{Q B} = (\begin{array}{c} 6,5 \\ 24,5 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 1 - 6,5 \\ 2 - 24,5 \\ 30 - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6,5 \\ 24,5 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 7,5 \\ - 22,5 \\ 30 \end{array})$
  $g_{R C} : \vec{x} = \vec{O R} + s \cdot \vec{R C} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 5,8 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 2 - (- 2) \\ 0 - 5,8 \\ 29 - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ 5,8 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 5,8 \\ 29 \end{array})$
  $g_{Q B} = g_{R C} \Rightarrow (\begin{array}{c} 6,5 \\ 24,5 \\ 0 \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} - 7,5 \\ - 22,5 \\ 30 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ 5,8 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 5,8 \\ 29 \end{array})$
  $\Rightarrow (\begin{array}{c} 6,5 \\ 24,5 \\ 0 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 2 \\ 5,8 \\ 0 \end{array}) = r \cdot (\begin{array}{c} 7,5 \\ 22,5 \\ - 30 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 5,8 \\ 29 \end{array})$
  $\Rightarrow (\begin{array}{c} 8,5 \\ 18,7 \\ 0 \end{array}) = r \cdot (\begin{array}{c} 7,5 \\ 22,5 \\ - 30 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ - 5,8 \\ 29 \end{array})$
  Aus Gleichung $(I)$ folgt: $r = \frac{8,5}{7,5} = \frac{17}{15}$
  Mit $r = \frac{17}{15}$ folgt in Gleichung $(I I I)$ : $0 = \frac{17}{15} \cdot (- 30) + 29 s \Rightarrow s = \frac{34}{29}$
  Probe in Gleichung $(I I)$ : $18,7 = \frac{17}{15} \cdot 22,5 + \frac{34}{29} \cdot (- 5,8) = 25,5 - 6,8 = 18,7 ✓$
  Setze $r = \frac{17}{15}$ z.B. in $g_{Q B}$ ein:
  $\vec{O S} = (\begin{array}{c} 6,5 \\ 24,5 \\ 0 \end{array}) + \frac{17}{15} \cdot (\begin{array}{c} - 7,5 \\ - 22,5 \\ 30 \end{array}) = (\begin{array}{c} 6,5 \\ 24,5 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 8,5 \\ - 25,5 \\ 34 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 34 \end{array})$
  $\Rightarrow S (- 2 | - 1 | 34) ✓$
  Die Koordinaten des Punktes $S$ sind $S (- 2 | - 1 | 34)$ .
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  Berechne die Geradengleichungen $g_{Q B} : \vec{x} = \vec{O Q} + r \cdot \vec{Q B}$ und $g_{R C} : \vec{x} = \vec{O R} + s \cdot \vec{R C}$ .
  Löse die Gleichung $g_{Q B} = g_{R C}$ .
2. Stellen Sie eine Gleichung der Lotgeraden $l$ zur Ebene $E$ , in der sich die Glasfläche $A B C D$ befindet, durch den Punkt $S$ auf und bestimmen Sie den Abstand des Punktes $S$ zur Ebene $E$ .
  [ Mögliches Teilergebnis: $l$ : $\vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 30 \end{array}) + t (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array})$ , $t \in ℝ$ ]
  (8 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Punkten, Geraden und Ebenen
  Stelle eine Gleichung der Lotgeraden $l$ zur Ebene $E$ , in der sich die Glasfläche $A B C D$ befindet, durch den Punkt $S$ auf
  Benötigt wird der Normalenvektor ${\vec{n}}_{E}$ der Ebene $E_{A B C}$ . Dieser ist der Richtungsvektor der Lotgeraden.
  Für die Ebene in Parameterform gilt:
  $E_{A B C} : \vec{x} = \vec{O A} + r \cdot \vec{A B} + s \cdot \vec{A C}$
  Berechne: $\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} - 1 - 2 \\ 2 - 0 \\ 30 - 31 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$ und $\vec{A C} = \vec{O C} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} - 2 - 2 \\ 0 - 0 \\ 29 - 31 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ - 2 \end{array})$
  Berechne den Normalenvektor der Ebenengleichung $E_{A B C}$ :
  ${\vec{n}}_{E} = \vec{A B} \times \vec{A C} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - 4 \\ 0 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 4 \\ - 2 \\ 8 \end{array})$
  
  $\Rightarrow$ Der mit Faktor $2$ verkürzte Normalenvektor ist ${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array})$
  Dieser Vektor ist der Richtungsvektor der Lotgeraden $l$ .
  Die Gleichung der Lotgeraden $l$ zur Ebene $E$ , in der sich die Glasfläche $A B C D$ befindet, durch den Punkt $S$ , lautet somit $l : \vec{x} = \vec{O S} + t \cdot {\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 34 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array})$ .
  Anmerkung: Für $t = - 1$ liegt der Punkt $(0 | 0 | 30)$ auf der Geraden $l$ , sodass die Gleichung für $l$ auch so geschrieben werden kann:
  Lotgerade $l : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 30 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array}) ✓$
  Bestimme den Abstand des Punktes $S$ zur Ebene $E$
  Gib die Gleichung von $E$ in der Normalenform an.
  $E : (\vec{x} - \vec{O A}) \circ {\vec{n}}_{E} = 0$
  $\Rightarrow$ $E : [\vec{x} - (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 31 \end{array})] \circ (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array}) = 0$
  Setze $l : \vec{x} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 34 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array})$ in $E$ ein, um den Lotfußpunkt $F$ zu erhalten:
  $[(\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 34 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 31 \end{array})] \circ (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array}) = 0 \Rightarrow [(\begin{array}{c} - 4 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array})] \circ (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array}) = 0$
  Berechne das Skalarprodukt:
  $(8 + 1 + 12) + t \cdot (4 + 1 + 16) = 0 \Rightarrow - 21 = 21 t \Rightarrow t = - 1$
  Setze $t = - 1$ in die Gleichung der Lotgeraden ein:
  $\vec{O F} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 34 \end{array}) + (- 1) \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 30 \end{array})$
  Der Abstand des Punktes $S$ zur Ebene $E$ ist der Betrag des Vektors $\vec{F S}$ : $\vec{F S} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 34 \end{array}) - (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 30 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array}) \Rightarrow | \vec{F S} | = \sqrt{(- 2)^{2} + (- 1)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{21} \approx 4,58$
  Der Abstand des Punktes $S$ zur Ebene $E$ beträgt rund $4,58 LE$ .
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  Teil 1
  Benötigt wird der Normalenvektor ${\vec{n}}_{E}$ der Ebene $E_{A B C}$ . Dieser ist der Richtungsvektor der Lotgeraden.
  Berechne den Normalenvektor der Ebenengleichung ${\vec{n}}_{E} = \vec{A B} \times \vec{A C}$ , der der Richtungsvektor der Lotgeraden $l$ ist $\Rightarrow$ $l : \vec{x} = \vec{O S} + t \cdot {\vec{n}}_{E}$ .
  Teil 2
  Gib die Gleichung von $E$ in der Normalenform an.
  $E : (\vec{x} - \vec{O A}) \circ {\vec{n}}_{E} = 0$
  Setze die Gleichung der Lotgeraden $l$ in $E$ ein, um den Lotfußpunkt $F$ zu erhalten.
  Der Abstand des Punktes $S$ zur Ebene $E$ ist der Betrag des Vektors $\vec{F S}$ .
3. Die Diagonalen des Vierecks $P Q R T$ schneiden sich im Punkt $M (15 | 7,5 | 0)$ .
  (Nachweis nicht erforderlich). Zeigen Sie, dass der Punkt $M$ auf der Geraden $l$ liegt. Berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels der Geraden mit der
  $x_{1}$ - $x_{2}$ - Koordinatenebene.
  (4 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lagebeziehung von Punkten, Geraden und Ebenen
  Zeige, dass der Punkt $M$ auf der Geraden $l$ liegt
  Mit der in b) angegebenen Gleichung der Lotgeraden $l : \vec{x} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 30 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array})$ und dem Punkt $M (15 | 7,5 | 0)$ folgt:
  $(\begin{array}{c} 15 \\ 7,5 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 30 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array})$
  Aus Gleichung $(I)$ folgt: $t = - 7,5$
  $t = - 7,5$ eingesetzt in Gleichung $(I I)$ folgt: $7,5 = (- 7,5 \cdot (- 1) ✓$
  $t = - 7,5$ eingesetzt in Gleichung $(I I I)$ folgt: $0 = 30 - 7,5 \cdot 4 ✓$
  Damit liegt der Punkt $M$ auf der Geraden $l$ .
  Berechne die Größe des Schnittwinkels der Geraden mit der $x_{1}$ - $x_{2}$ -Koordinatenebene
  Winkel zwischen der Geraden $l$ und $x_{1} x_{2}$ -Ebene
  ${\vec{n}}_{x_{1} x_{2}} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ $\Rightarrow | {\vec{n}}_{x_{1} x_{2}} | = 1$ und $\vec{u} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array}) \Rightarrow | \vec{u} | = \sqrt{(- 2)^{2} + (- 1)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{21}$
  Für den Winkel gilt: $\sin α = \frac{| \vec{n} \circ \vec{u} |}{| {\vec{n}}_{x_{1} x_{2}} | \cdot | \vec{u} |} = \frac{| (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array}) |}{1 \cdot \sqrt{21}} = \frac{4}{\sqrt{21}}$
  $α = \sin^{- 1} (\frac{4}{\sqrt{21}}) \approx {60,79}^{°}$
  Die Größe des Schnittwinkels der Geraden $l$ mit der $x_{1}$ - $x_{2}$ -Koordinatenebene beträgt rund ${60,79}^{°}$ .
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  Teil 1
  Setze den Vektor $\vec{O M}$ in die Geradengleichung $l$ ein.
  Prüfe, ob alle drei Gleichungen für ein festes $t$ erfüllt sind.
  Teil 2
  Für den Winkel zwischen der Geraden $l$ und der $x_{1} x_{2}$ -Ebene, mit ${\vec{n}}_{x_{1} x_{2}} = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$ und $\vec{u}$ als Richtungsvektor von $l$ gilt: $\sin α = \frac{| \vec{n} \circ \vec{u} |}{| {\vec{n}}_{x_{1} x_{2}} | \cdot | \vec{u} |}$
4. Der Scheinwerfer besitzt einen Flügelbegrenzer (siehe Bild 3). Der einzustellende Winkel soll für den rechten Flügel berechnet werden. Vereinfachend soll angenommen werden, dass der rechte Flügel in der
  Ebene $F$ liegt, die durch die Punkte $B, A$ und $Q$ festgelegt ist. Berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels zwischen der Ebene $E$ und der Ebene $F$ .
  Schließen Sie anschließend auf die Größe des einzustellenden Winkels $β$ zwischen der Glasfläche des Scheinwerfers und dem rechten Flügel des Flügelbegrenzers
  (siehe Bild 4).
  (5 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel in der analytischen Geometrie
  Berechne die Größe des Schnittwinkels zwischen der Ebene $E$ und der Ebene $F$
  Die Ebene $E$ hat den Normalenvektor ${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array}) \Rightarrow | {\vec{n}}_{E} | = \sqrt{(- 2)^{2} + (- 1)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{21}$
  Benötigt wird der Normalenvektor ${\vec{n}}_{F}$ der Ebene $E_{A B Q}$ .
  Für die Ebene in Parameterform gilt:
  $E_{A B Q} : \vec{x} = \vec{O A} + r \cdot \vec{A B} + s \cdot \vec{A Q}$
  Aus Aufgabe b) ist $\vec{A B} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ - 1 \end{array})$ bekannt.
  Berechne und $\vec{A Q} = \vec{O Q} - \vec{O A} = (\begin{array}{c} 6,5 - 2 \\ 24,5 - 0 \\ 0 - 31 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4,5 \\ 24,5 \\ - 31 \end{array})$
  Berechne den Normalenvektor ${\vec{n}}_{F}$ der Ebenengleichung $F$ :
  ${\vec{n}}_{F} = \vec{A B} \times \vec{A Q} = (\begin{array}{c} - 3 \\ 2 \\ - 1 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 4,5 \\ 24,5 \\ - 31 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 37,5 \\ - 97,5 \\ - 82,5 \end{array})$
  
  $\Rightarrow | {\vec{n}}_{F} | = \sqrt{(- 37,5)^{2} + (- 97,5)^{2} + (- 82,5)^{2}} = \sqrt{17718,75}$
  Winkel zwischen Ebene $E$ und Ebene $F$ :
  Für den Winkel gilt: $\cos φ = \frac{| \vec{n_{E}} \circ \vec{n_{F}} |}{| \vec{n_{E}} | \cdot | \vec{n_{F}} |} = \frac{| (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} - 37,5 \\ - 97,5 \\ - 82,5 \end{array}) |}{\sqrt{17718,75} \cdot \sqrt{21}} = \frac{157,5}{\sqrt{372093,75}}$
  $φ = \cos^{- 1} (\frac{157,5}{\sqrt{372093,75}}) \approx {75,04}^{°}$
  Schließe anschließend auf die Größe des einzustellenden Winkels $β$ zwischen der Glasfläche des Scheinwerfers und dem rechten Flügel des Flügelbegrenzers
  $β = 180^{°} - {75,04}^{°} = {104,96}^{°}$
  Die Größe des einzustellenden Winkels $β$ zwischen der Glasfläche des Scheinwerfers und dem rechten Flügel des Flügelbegrenzers beträgt ${104,96}^{°}$ .
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  Teil 1
  Die Ebene $E$ hat den Normalenvektor ${\vec{n}}_{E} = (\begin{array}{c} - 2 \\ - 1 \\ 4 \end{array})$ .
  Benötigt wird der Normalenvektor ${\vec{n}}_{F}$ der Ebene $E_{A B Q}$ $\Rightarrow$ ${\vec{n}}_{F} = \vec{A B} \times \vec{A Q}$ .
  Für den Winkel gilt: $\cos φ = \frac{| \vec{n_{E}} \circ \vec{n_{F}} |}{| \vec{n_{E}} | \cdot | \vec{n_{F}} |} \Rightarrow φ$
  Teil 2
  $β = 180^{°} - φ$

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil 2 Lineare Algebra und analytische Geometrie I: mit Hilfsmitteln

Berechne die Koordinaten des Punktes S

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Stelle eine Gleichung der Lotgeraden l zur Ebene E, in der sich die Glasfläche ABCD befindet, durch den Punkt S auf

Bestimme den Abstand des Punktes S zur Ebene E

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Zeige, dass der Punkt M auf der Geraden l liegt

Berechne die Größe des Schnittwinkels der Geraden mit der x1-x2-Koordinatenebene

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Berechne die Größe des Schnittwinkels zwischen der Ebene E und der Ebene F

Schließe anschließend auf die Größe des einzustellenden Winkels β zwischen der Glasfläche des Scheinwerfers und dem rechten Flügel des Flügelbegrenzers

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Berechne die Koordinaten des Punktes $S$

Stelle eine Gleichung der Lotgeraden $l$ zur Ebene $E$ , in der sich die Glasfläche $A B C D$ befindet, durch den Punkt $S$ auf

Bestimme den Abstand des Punktes $S$ zur Ebene $E$

Zeige, dass der Punkt $M$ auf der Geraden $l$ liegt

Berechne die Größe des Schnittwinkels der Geraden mit der $x_{1}$ - $x_{2}$ -Koordinatenebene

Berechne die Größe des Schnittwinkels zwischen der Ebene $E$ und der Ebene $F$

Schließe anschließend auf die Größe des einzustellenden Winkels $β$ zwischen der Glasfläche des Scheinwerfers und dem rechten Flügel des Flügelbegrenzers