Teil B: Stochastik

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B4 Aufgabenstellung
Unter den Touristen eines Naturparks nutzen erfahrungsgemäß $14 %$ das Fahrrad für Ausflüge vor Ort. Im Folgenden werden diese Touristen als Radausflügler bezeichnet. Es soll davon ausgegangen werden, dass in einer zufälligen Auswahl von Touristen des Naturparks die Anzahl der Radausflügler binomialverteilt ist.

Für eine Stichprobe werden $300$ Touristen des Naturparks zufällig ausgewählt.
1. (1) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der Stichprobe genau $36$ Radausflügler befinden. [1 BE]
  (2) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Radausflügler in der Stichprobe um mindestens $10 %$ größer ist als der Erwartungswert für diese Anzahl. [3 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
  (1) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der Stichprobe genau 36 Radausflügler befinden
  Es ist $n = 300$ und $p = 0,14$ und $X$ : Anzahl der Radausflügler.
  Berechne $P (X = 36) = B (300; 0,14; 36) \approx 0,0420$
  oder $P (X = 36) = (\binom{300}{36}) \cdot {0,14}^{36} \cdot {0,86}^{264} \approx 0,0420$
  Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der Stichprobe genau $36$ Radausflügler befinden, beträgt rund $4 %$ .
  (2) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Radausflügler in der Stichprobe um mindestens $10 %$ größer ist als der Erwartungswert für diese Anzahl
  $μ = n \cdot p = 300 \cdot 0,14 = 42$
  $10 %$ von $42 = 4,2 \Rightarrow μ + 4,2 = 46,2$ , runde nach oben $\Rightarrow 47$ .
  $\Rightarrow P (X \geq 47) = 1 - P (X \leq 46) = 1 - F (300; 0,14; 46) \approx 1 - 0,7757 = 0,2243$
  Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Radausflügler in der Stichprobe um mindestens $10 %$ größer ist als der Erwartungswert für diese Anzahl, beträgt rund $22 %$ .
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  (1)
  Berechne $P (X = 36)$ .
  (2)
  Berechne $μ = n \cdot p$ und addiere zu $μ$ $10 %$ von $μ$ . Runde nach oben $\Rightarrow x_{1}$ .
  Berechne $P (X \geq x_{1}) = 1 - P (X \leq x_{1} - 1)$ .
2. Um den Naturpark als Reiseziel attraktiver zu machen, setzt der dortige Tourismusverband Shuttlebusse ein. Die Fahrkarten für diese Busse können ausschließlich online gebucht werden und sind jeweils für einen bestimmten Tag gültig. Erfahrungsgemäß werden $80 %$ aller gebuchten Fahrkarten spätestens am Vortag der Fahrt gebucht. Von diesen spätestens am Vortag gebuchten Fahrkarten werden $90 %$ auch tatsächlich genutzt. Bei den restlichen, erst am Tag der Fahrt gebuchten Fahrkarten liegt dieser Anteil mit $95 %$ etwas höher.
  (1) Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar. [3 BE]
  (2) Betrachtet wird eine zufällig ausgewählte, nicht genutzte Fahrkarte.
  Beurteilen Sie die folgende Aussage:
  Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Fahrkarte spätestens am Vortag gebucht wurde, ist achtmal so groß wie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie erst am Tag der Fahrt gebucht wurde. [3 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln
  (1) Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar
  $A$ : Die Fahrkarte wird spätestens am Vortag gebucht.
  $B$ : Die Fahrkarte wird benutzt.
  Baumdiagramm
  (2) Beurteile die folgende Aussage: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Fahrkarte spätestens am Vortag gebucht wurde, ist achtmal so groß wie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie erst am Tag der Fahrt gebucht wurde.
  Gegeben:
  Betrachtet wird eine zufällig ausgewählte, nicht genutzte Fahrkarte $\Rightarrow B .$
  Gesucht ist dann:
  $P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{0,8 \cdot 0,1}{P (B)} = \frac{0,08}{P (B)}$ bzw. $P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{0,2 \cdot 0,05}{P (B)} = \frac{0,01}{P (B)}$
  Die Aussage ist wahr, da $P_{B} (A) = 8 \cdot P_{B} (A)$ .
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  (1)
  Übertrage die gegebenen Werte in ein Baumdiagramm.
  (2)
  Betrachtet wird eine zufällig ausgewählte, nicht genutzte Fahrkarte $\Rightarrow B .$
  Gesucht ist dann: $P_{B} (A)$ und $P_{B} (A)$
  Vergleiche die beiden Werte.
3. Der Tourismusverband möchte überprüfen, ob sich der bisherige Anteil der Radausflügler unter den Touristen von $14 %$ durch den Einsatz der Shuttlebusse erhöht hat. Dazu werden für eine Stichprobe $200$ Touristen des Naturparks zufällig ausgewählt. Der Tourismusverband möchte von einer Erhöhung des bisherigen Anteils der Radausflügler unter den Touristen durch den Einsatz der Shuttlebusse ausgehen, wenn sich unter den Touristen der Stichprobe mindestens $35$ Radausflügler befinden. Es wird vorher festgelegt, nur dann die Shuttlebusse weiterzubetreiben.
  (1) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Shuttlebusse weiterbetrieben werden, wenn der Anteil der Radausflügler unter den Touristen unverändert geblieben ist. [3 BE]
  (2) Der Anteil der Radausflügler unter den Touristen ist tatsächlich auf $20 %$ gestiegen.
  Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Shuttlebusse trotzdem nicht mehr weiterbetrieben werden. [2 BE]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
  (1) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Shuttlebusse weiterbetrieben werden, wenn der Anteil der Radausflügler unter den Touristen unverändert geblieben ist
  Gegeben: $p = 0,14, n = 200$ und $X \geq 35$ $\Rightarrow P_{200; 0,14} (X \geq 35) = 1 - F (200; 0,14; 34) \approx 1 - 0,9047 = 0,0953 \approx 9,5 %$
  Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Shuttlebusse weiterbetrieben werden, wenn der Anteil der Radausflügler unter den Touristen unverändert geblieben ist, beträgt rund $9,5 %$ .
  (2) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Shuttlebusse trotzdem nicht mehr weiterbetrieben werden
  Gegeben: $p = 0,2, n = 200$ und $X \leq 34$ $\Rightarrow P_{200; 0,2} (X \leq 34) = F (200; 0,2; 34) \approx 0,1656 \approx 16,6 %$
  Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Shuttlebusse trotzdem nicht mehr weiterbetrieben werden, beträgt rund $16,6 %$ .
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  (1)
  Berechne $P_{200; 0,14} (X \geq 35)$ .
  (2)
  Berechne $P_{200; 0,2} (X \leq 34)$ .

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

Teil B: Stochastik

B4 Aufgabenstellung

(1) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der Stichprobe genau 36 Radausflügler befinden

(2) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Radausflügler in der Stichprobe um mindestens 10% größer ist als der Erwartungswert für diese Anzahl

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(1) Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar

(2) Beurteile die folgende Aussage: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Fahrkarte spätestens am Vortag gebucht wurde, ist achtmal so groß wie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie erst am Tag der Fahrt gebucht wurde.

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(1) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Shuttlebusse weiterbetrieben werden, wenn der Anteil der Radausflügler unter den Touristen unverändert geblieben ist

(2) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Shuttlebusse trotzdem nicht mehr weiterbetrieben werden

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(2) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Radausflügler in der Stichprobe um mindestens $10 %$ größer ist als der Erwartungswert für diese Anzahl