Zwei defekte Computermonitore sind mit zwei guten zusammengepackt worden. Man prüft die Monitore der Reihe nach, bis man weiß, welche die zwei fehlerhaften sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist man nach Prüfung des zweiten Monitors, mit welcher Wahrscheinlichkeit erst nach Prüfung des dritten fertig?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Baumdiagramm und Pfadregeln

Erstelle zunächst ein Baumdiagramm (Ziehen ohne Zurücklegen). Berechne dann die gesuchten Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Pfadregeln. Auch die Betrachtung eines Gegenereignisses kann hilfreich sein.
Es gibt in dieser Aufgabe insgesamt vier Monitore: Zwei kaputte und zwei gute. Es wird ohne Zurücklegen ein Monitor nach dem anderen gezogen und nachgesehen, ob er kaputt ist oder nicht.
Da jeder Monitor nur einmal geprüft werden muss (denn danach weiß man ja, ob er kaputt ist oder nicht), wird hier ohne Zurücklegen gezogen.
Folgende Bezeichnungen für die Ereignisse kannst du hier einführen:

K=der angesehene Monitor ist kaputt\bf{K} = \text{der angesehene Monitor ist \bf{kaputt}}
G=der angesehene Monitor ist gut\bf{G} = \text{der angesehene Monitor ist \bf{gut}}
Das Zufallsexperiment, das hier beschrieben wird, lässt sich mithilfe des Urnenmodells untersuchen:

Die Monitore sind hier Kugeln in einer Urne. Es gibt zwei rote Kugeln (kaputte Monitore)\color{cc0000}\text{rote Kugeln (kaputte Monitore)} und zwei blaue Kugeln (gute Monitore)\color{009999}\text{blaue Kugeln (gute Monitore)}. Man zieht der Reihe nach eine Kugel (bzw. einen Monitor) ohne Zurücklegen aus der Urne, und sieht nach, ob sie rot (kaputt) oder blau (gut) ist.
Um die Wahrscheinlichkeiten aus der Aufgabenstellung zu berechnen, stellst du ein Baumdiagramm auf:
Baumdiagramm
Da man ohne zurücklegen zieht, ändern sich mit jeder Überprüfung die Wahrscheinlichkeiten.
Überlege dir nun, welche Pfade zu den Ereignissen passen, die in der Aufgabenstellung genannt werden.

Fertig nach zwei Überprüfungen

Bei welchen Pfaden weiß man nach zwei überprüften Monitoren schon, welche die kaputten Monitore sind? Das sind genau die Pfade, bei denen es nach dem zweiten Schritt keine Verzweigung mehr gibt. Es gibt also zwei mögliche Pfade:

  • Die ersten beiden Monitore, die angesehen werden, sind kaputt. Das entspricht dem Pfad KKGG\color{cc0000}\text{KK}\color{009999}\text{GG}. Dieser Pfad hat die Wahrscheinlichkeit P(KKGG)=241311=212=16.P(\color{cc0000}\text{KK}\color{009999}\text{GG}\color{000000}) = \dfrac{2}{4}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot 1\cdot 1 = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}.
  • Die ersten beiden Monitore sind gut. Das entspricht dem Pfad GGKK\color{009999}\text{GG}\color{cc0000}\text{KK}. In diesem Fall sind genau die beiden übrigen Monitore die kaputten. Der Pfad hat die Wahrscheinlichkeit P(GGKK)=241311=212=16.P(\color{009999}\text{GG}\color{cc0000}\text{KK}\color{000000}) = \dfrac{2}{4}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot 1\cdot 1 = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}.
Weil es bei den anderen Pfaden im zweiten Schritt immernoch eine Verzweigung gibt, kommen diese Pfade nicht mehr infrage.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, nach zwei Überprüfungen fertig zu sein, ist also:
P(KKGG)+P(GGKK)=16+16=1333,3%.\displaystyle P(\color{cc0000}\text{KK}\color{009999}\text{GG}\color{000000}) + P(\color{009999}\text{GG}\color{cc0000}\text{KK}\color{000000}) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3} \approx 33,3\%.

Fertig nach drei Überprüfungen

Eine Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, mit der man nach drei Überprüfungen fertig ist, ist, wieder die Wahrscheinlichkeiten der entsprechenden Pfade auszurechnen und zu Addieren. Eine weitere Möglichkeit, die etwas Arbeit spart, ist, mit der Gegenwahrscheinlichkeit zu argumentieren:

Sieh dir die Pfade an, bei denen man nicht nach zwei Überprüfungen fertig ist. Das sind alle Pfade außer KKGG \color{cc0000}\text{KK}\color{009999}\text{GG} und GGKK\color{009999}\text{GG}\color{cc0000}\text{KK}.
Bei all diesen Pfaden weiß man nach der dritten Überprüfung schon, welche die kaputten Monitore sind. Denn dann kann man schließen, ob der vierte kaputt ist oder nicht. Das heißt:

Das Ereignis "nach drei U¨berpru¨fungen fertig" \text{"nach drei Überprüfungen fertig" } ist genau das Gegenereignis zu "nach zwei U¨berpru¨fungen fertig"\text{"nach zwei Überprüfungen fertig"}. Und die Wahrscheinlichkeit, nach zwei Überprüfungen fertig zu sein, hast du oben schon berechnet. Daher gilt:
P("nach drei U¨berpru¨fungen fertig" )=1P("nach zwei U¨berpru¨fungen fertig")=11366,7%.\displaystyle \begin{array}{rcl} &&P(\text{"nach drei Überprüfungen fertig" })\\ \\ &=& 1 - P(\text{"nach zwei Überprüfungen fertig"}) \\\\ &=& 1 - \dfrac{1}{3} \approx 66,7\%. \end{array}
Wenn du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen sollst, das sehr viele Pfade hat, schau nach, ob das Gegenereignis weniger Pfade hat. Dann kannst du die Wahrscheinlichkeit des ursprünglichen Eregnisses wie folgt berechnen:
P(Ereignis)=1P(Gegenereignis).\displaystyle P(\text{Ereignis}) = 1 - P(\text{Gegenereignis}).