Insgesamt gibt es $\binom{52}{15}$ Möglichkeiten aus den 52 Karten 15 zu ziehen. Dabei zieht man die Karten ohne zurückzulegen und ohne die Reihenfolge zu beachten.

Im ganzen Kartenstapel sind vier Asse, die man nicht ziehen darf. Man zieht also aus den restlichen 48 Karten 15, ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen.

$\displaystyle\Rightarrow \binom{48}{15}=1\,093\,260\,079\,344$

Wähle zuerst eine Karte aus den vier Assen (ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge). $\displaystyle\Rightarrow\binom{4}{1}$

Wähle anschließend aus den restlichen 48 Karten 14 aus (ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge). $\displaystyle\Rightarrow\binom{48}{14}$

Insgesamt ergeben sich also $\displaystyle\binom{4}{1}\cdot\binom{48}{14}=1\,929\,282\,492\,960$ Möglichkeiten.

„Mindestens ein Ass“ bedeutet „genau ein Ass“ oder „genau zwei Asse“ oder „genau drei Asse“ oder „genau vier Asse“. Das bedeutet man kann die Möglichkeiten für die jeweiligen Ereignisse addieren.

genau ein Ass: Wähle aus den vier Assen ein Ass aus und aus den restlichen 48 Karten 14 aus. $\displaystyle\Rightarrow\binom{4}{1}\cdot\binom{48}{14}$ Möglichkeiten

genau zwei Asse: Wähle aus den vier Assen zwei aus und aus den restlichen 48 Karten 13 aus. $\displaystyle\Rightarrow\binom{4}{2}\cdot\binom{48}{13}$ Möglichkeiten

genau drei Asse: Wähle aus den vier Assen drei aus und aus den restlchen 48 Karten zwölf aus. $\displaystyle\Rightarrow\binom{4}{3}\cdot\binom{48}{12}$ Möglichkeiten

genau vier Asse: Wähle aus den vier Assen vier aus (eine Möglichkeit) und aus den restlichen 48 Karten elf aus. $\displaystyle\Rightarrow\binom{4}{4}\cdot\binom{48}{11}$ Möglichkeiten

$\Rightarrow$ mindestens ein Ass: Addiere die einzelnen Teilergebnisse:

$\displaystyle\binom{4}{1}\cdot\binom{48}{14}+\binom{4}{2}\cdot\binom{48}{13}+\binom{4}{3}\cdot\binom{48}{12}+\binom{4}{4}\cdot\binom{48}{11}=$

$=3\,388\,121\,326\,976$

„Höchstens ein Ass“ bedeutet entweder „kein Ass“ oder „genau ein Ass“. Die Möglichkeiten für die beiden Ereignisse kann man also einfach addieren, da sie keine Schnittmenge haben.

Kein Ass: Wähle aus 48 Karten 15 aus $\displaystyle\Rightarrow\binom{48}{15}$

Genau ein Ass: Wähle aus den vier Assen ein Ass aus und aus den restlichen 48 Karten 14 aus. $\displaystyle\Rightarrow \binom{4}{1}\cdot\binom{48}{14}$

$\Rightarrow$ Höchstens ein Ass: Addiere die Möglichkeiten der einzelnen Ereignisse zusammen.

$\displaystyle\binom{48}{15}+\binom{4}{1}\cdot\binom{48}{14}=3\,022\,542\,572\,304$

Man zieht die Karten ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.

Wähle aus den vier Assen zwei aus, dafür gibt es $\binom{4}{2}$ Möglichkeiten. Für jede dieser Möglichkeiten kann man aus den restlichen 48 Karten noch 13 ziehen. Dafür gibt es $\binom{48}{13}$ Möglichkeiten.

Insgesamt gibt es also $\displaystyle\binom{4}{2}\cdot\binom{48}{13}=1\,157\,569\,495\,776$

Man zieht die Karten ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.

Für die vier Asse gibt es nur eine Möglichkeit. Die restlichen 11 Karten zieht man aus dem Stapel mit 48 Karten.

$\displaystyle\binom{4}{4}\cdot\binom{48}{11}=1\cdot\binom{48}{11}=22\,595\,200\,368$