Aufgaben zum Thema Unabhängigkeit von Ereignissen

In einer Urne sind 9 schwarze, 5 blaue und 3 rote Kugeln. Viermal wird mit Zurücklegen gezogen. Beweise, dass die Ereignisse A: "Blau beim ersten Zug" und B:"Kein Schwarz bei 4. Zug" unabhängig sind.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Unabhängigkeit von Ereignissen beweisen

Für diese Aufgabe gibt es verschiedene Herangehensweisen.

Möglichkeit 1: Möglichkeiten aufzählen

Zu zeigen ist:

\displaystyle \mathrm P\left(\mathrm A\cap\mathrm B\right)\;=\;\mathrm P\left(\mathrm A\right)\;\cdot\;\mathrm P\left(\mathrm B\right)

Berechne P(A). Zähle dafür die günstigen Möglichkeiten auf und teile durch alle Möglichkeiten.

$P(A)=\frac5{17}$

Berechne P(B). Teile wieder die günstigen Möglichkeiten durch alle Möglichkeiten.

$P\left(B\right)=\frac{3+5}{17}=\frac8{17}$

Berechne nun $P\left(A\cap B\right)\;$ . Beachte, dass uns der 2. und 3. Zug egal sind.

$P\left(A\cap B\right)\;=\;\underbrace{\frac5{17}}_{1.Zug\;blau}\cdot\frac{17}{17}\cdot\frac{17}{17}\cdot\underbrace{\frac8{17}}_{4.Zug\;nicht\;schwarz}$

$P\left(A\cap B\right)\;=\frac5{17}\cdot1\cdot1\cdot\frac8{17}=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$

Es gilt also:

\displaystyle \mathrm P\left(\mathrm A\cap\mathrm B\right)\;=\;\mathrm P\left(\mathrm A\right)\;\cdot\;\mathrm P\left(\mathrm B\right)

Möglichkeit 2: Über bedingte Wahrscheinlichkeit

Diese Herangehensweie ist immer dann sinnvoll, falls $P\left(A\cap B\right)\;$ zu viele Möglichkeiten enthält, um sie von Hand zu berechnen. Hier war es noch einfach möglich, in anderen Aufgaben ist diese Lösung einfacher.

Zu zeigen ist:

\displaystyle \mathrm P\left(\mathrm A\cap\mathrm B\right)\;=\;\mathrm P\left(\mathrm A\right)\;\cdot\;\mathrm P\left(\mathrm B\right)

Eingesetzt in die Definition von bedingter Wahrscheinlichkeit folgt damit sofort die Unabhängigkeit. Genausogut kann man natürlich auch $P_B(A)$ berechnen.

Bestimme zunächst P(B)="Kein Schwarz bei 4. Zug".

(Teile die günstigen Möglichkeiten durch alle Möglichkeiten)

$P\left(B\right)=\frac{3+5}{17}=\frac8{17}$

Betrachte die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_A(B)$ : "Nicht schwarz im vierten Zug, unter der Bedingung, dass der erste Zug blau war"

$P_A(B)=\underbrace{\frac11}_{1.\;Zug\;ist\;blau\;wegen\;der\;Bedingung\;}\cdot\underbrace{\frac{17}{17}}_{2.\;Zug\;egal}\cdot\underbrace{\frac{17}{17}}_{3.Zug\;egal}\cdot\frac8{17}=P\left(B\right)$

Daraus folgt die Unabhängigkeit.

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