2. Logarithmen

Die Gleichung

kannst du nach b auflösen, indem du die n-te Wurzel ziehst:

Du kannst die Gleichung aber auch nach n auflösen, indem du den Logarithmus zur Basis b bildest:

Die Potenzfunktion hat also zwei verschiedene Umkehrfunktionen, je nach dem, ob du nach der Basis $b$ oder nach dem Exponenten $n$ fragst.

Definition

Zu $x>0$ und $b>0, b\ne 1$ ist der Logarithmus zur Basis b von x die folgende Zahl $y\in\mathbb{R}$:

Die drei speziellen Basen $2$, $10$ und $e = 2{,}71828$... kommen so häufig vor, dass sie eigene Symbole haben: $\text{ld}$, $\lg$ und $\ln$. Zur Schreibweise: Beim Logarithmus werden oft die Klammern um das Argument weggelassen, wenn dieses nur eine einzelne Variable oder eine einzelne Zahl ist:

Der Zweierlogarithmus $\text{ld }$ kommt besonders häufig in der Informatik vor. Der Zehnerlogarithmus $\lg$ wird viel in der Technik verwendet, der natürliche Logarithmus $\ln$ ist in der Mathematik heimisch.

Rechenregeln

Potenzieren und Logarithmieren (zur selben Basis) heben sich gegenseitig auf:

$(1) \quad b^{\log_b(x)} ~=~ x$

$(2) \quad \log_b(b^x) = x$

Logarithmieren: Aus "mal" wird "plus":

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {lcll} \log_b{(x\cdot y)} & = & \log_b(b^{\log_b(x)} \cdot b^{\log_b(y)}) & \text{einsetzen nach (1)}\\ & = & \log_b(b^{\log_b(x) + \log_b(y)}) & \text{Potenzrechnung}\\ & = & \log_b(x) + \log_b(y) & \text{nach (2)} \end{array}$

Logarithmieren: Aus "geteilt durch" wird "minus":

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {lcll} \log_b{(x / y)} & = & \log_b(b^{\log_b(x)} /~ b^{\log_b(y)}) & \text{einsetzen nach (1)}\\ & = & \log_b(b^{\log_b(x) - \log_b(y)}) & \text{Potenzrechnung}\\ & = & \log_b(x) - \log_b(y) & \text{nach (2)} \end{array}$

Logarithmieren: Aus "hoch" wird "mal":

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {lcll} \log_b{(x^n)} & = & \log_b((b^{\log_b(x)})^n ) & \text{einsetzen nach (1)}\\ & = & \log_b(b^{\log_b(x)~\cdot~ n)} & \text{Potenzrechnung}\\ & = & \log_b(x)\cdot n & \text{nach (2)} \end{array}$

Einen Logarithmus von einer Basis in eine andere Basis umrechnen

Das Verrückte ist: Die Logarithmen verhalten sich alle proportional zueinander, oder genauer, zwei Logarithmen zu verschiedenen Basen unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor voneinander (natürlich bei gleichem Argument $x$).

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {lcll} \log_c(x) & = & \log_c(b^{\log_b(x)} ) & \text{einsetzen nach (1)}\\ & = & \log_c(b) \cdot {\log_b(x)} & \text{aus "hoch" wird "mal"} \end{array}$

Du erhältst also den Logarithmus zur Basis $c$, indem du den Logarithmus zur Basis $b$ mit dem konstanten Faktor $\log_c(b)$ multiplizierst.

Zum Beispiel möchtest du den Zweierlogarithmus $(c=2)$ von $1000$ ausrechnen. Du kennst den Zehnerlogarithmus $(b = 10)$ von $1000$, nämlich $3$. Du multiplizierst also die $3$ mit $\log_2(10) \approx 3{,}322$ und erhältst als Ergebnis $9{,}966$.

$\log_2(1000) ~ = ~ \log_2(10) \cdot {\log_{10}(1000)} ~ \approx ~ 3{,}322 \cdot 3 ~ = ~ 9{,}966$

Also gilt $~2^{9{,}966} \approx 1000$ .

Anwendung: Rechenschieber

Addieren ist einfacher als Multiplizieren. Der Logarithmus bietet die Möglichkeit, das Multiplizieren auf das Addieren zurückzuführen. Verwende eine logarithmische Skala: Abstand von zwei Achsenbeschriftungen $x_1$ und $x_2$ proportional zu $\log x_1-\log x_2=\log(x_1/x_2)$.

Ein Rechenschieber für Informatiker. Berechnet wird $8\cdot 32 = 256$.

Aufgaben