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2. Logarithmen

Der Logarithmus gibt dir die Antwort auf eine Frage wie: "22 hoch wie viel ist 3232?"

Die Antwort lautet: log2(32)=5\log_2(32) = 5.

Der Logarithmus zur Basis 2 von 32 ist gleich 5.

Die Gleichung

kannst du nach b auflösen, indem du die n-te Wurzel ziehst:

Du kannst die Gleichung aber auch nach n auflösen, indem du den Logarithmus zur Basis b bildest:

Die Potenzfunktion hat also zwei verschiedene Umkehrfunktionen, je nach dem, ob du nach der Basis bb oder nach dem Exponenten nn fragst.

Definition

Zu x>0x>0 und b>0,b1b>0, b\ne 1 ist der Logarithmus zur Basis b von x die folgende Zahl yRy\in\mathbb{R}:

Die drei speziellen Basen 22, 1010 und e=2,71828e = 2{,}71828... kommen so häufig vor, dass sie eigene Symbole haben: ld\text{ld}, lg\lg und ln\ln. Zur Schreibweise: Beim Logarithmus werden oft die Klammern um das Argument weggelassen, wenn dieses nur eine einzelne Variable oder eine einzelne Zahl ist:

Der Zweierlogarithmus ld \text{ld } kommt besonders häufig in der Informatik vor. Der Zehnerlogarithmus lg\lg wird viel in der Technik verwendet, der natürliche Logarithmus ln\ln ist in der Mathematik heimisch.

Rechenregeln

Potenzieren und Logarithmieren (zur selben Basis) heben sich gegenseitig auf:

(1)blogb(x) = x(1) \quad b^{\log_b(x)} ~=~ x

(2)logb(bx)=x(2) \quad \log_b(b^x) = x

Logarithmieren: Aus "mal" wird "plus":

logb(xy)=logb(blogb(x)blogb(y))einsetzen nach (1)=logb(blogb(x)+logb(y))Potenzrechnung=logb(x)+logb(y)nach (2)\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {lcll} \log_b{(x\cdot y)} & = & \log_b(b^{\log_b(x)} \cdot b^{\log_b(y)}) & \text{einsetzen nach (1)}\\ & = & \log_b(b^{\log_b(x) + \log_b(y)}) & \text{Potenzrechnung}\\ & = & \log_b(x) + \log_b(y) & \text{nach (2)} \end{array}

Logarithmieren: Aus "geteilt durch" wird "minus":

logb(x/y)=logb(blogb(x)/ blogb(y))einsetzen nach (1)=logb(blogb(x)logb(y))Potenzrechnung=logb(x)logb(y)nach (2)\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {lcll} \log_b{(x / y)} & = & \log_b(b^{\log_b(x)} /~ b^{\log_b(y)}) & \text{einsetzen nach (1)}\\ & = & \log_b(b^{\log_b(x) - \log_b(y)}) & \text{Potenzrechnung}\\ & = & \log_b(x) - \log_b(y) & \text{nach (2)} \end{array}

Logarithmieren: Aus "hoch" wird "mal":

logb(xn)=logb((blogb(x))n)einsetzen nach (1)=logb(blogb(x)  n)Potenzrechnung=logb(x)nnach (2)\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {lcll} \log_b{(x^n)} & = & \log_b((b^{\log_b(x)})^n ) & \text{einsetzen nach (1)}\\ & = & \log_b(b^{\log_b(x)~\cdot~ n)} & \text{Potenzrechnung}\\ & = & \log_b(x)\cdot n & \text{nach (2)} \end{array}

Einen Logarithmus von einer Basis in eine andere Basis umrechnen

Das Verrückte ist: Die Logarithmen verhalten sich alle proportional zueinander, oder genauer, zwei Logarithmen zu verschiedenen Basen unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor voneinander (natürlich bei gleichem Argument xx).

logc(x)=logc(blogb(x))einsetzen nach (1)=logc(b)logb(x)aus "hoch" wird "mal"\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {lcll} \log_c(x) & = & \log_c(b^{\log_b(x)} ) & \text{einsetzen nach (1)}\\ & = & \log_c(b) \cdot {\log_b(x)} & \text{aus "hoch" wird "mal"} \end{array}

Du erhältst also den Logarithmus zur Basis cc, indem du den Logarithmus zur Basis bb mit dem konstanten Faktor logc(b)\log_c(b) multiplizierst.

Zum Beispiel möchtest du den Zweierlogarithmus (c=2)(c=2) von 10001000 ausrechnen. Du kennst den Zehnerlogarithmus (b=10)(b = 10) von 10001000, nämlich 33. Du multiplizierst also die 33 mit log2(10)3,322\log_2(10) \approx 3{,}322 und erhältst als Ergebnis 9,9669{,}966.

log2(1000) = log2(10)log10(1000)  3,3223 = 9,966\log_2(1000) ~ = ~ \log_2(10) \cdot {\log_{10}(1000)} ~ \approx ~ 3{,}322 \cdot 3 ~ = ~ 9{,}966

Also gilt  29,9661000~2^{9{,}966} \approx 1000 .

Anwendung: Rechenschieber

Addieren ist einfacher als Multiplizieren. Der Logarithmus bietet die Möglichkeit, das Multiplizieren auf das Addieren zurückzuführen. Verwende eine logarithmische Skala: Abstand von zwei Achsenbeschriftungen x1x_1 und x2x_2 proportional zu logx1logx2=log(x1/x2)\log x_1-\log x_2=\log(x_1/x_2).

Rechenschieber

Ein Rechenschieber für Informatiker. Berechnet wird 832=2568\cdot 32 = 256.

Aufgaben


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