Der Logarithmus gibt dir die Antwort auf eine Frage wie: " hoch wie viel ist ?"
Die Antwort lautet: .
Der Logarithmus zur Basis 2 von 32 ist gleich 5.
Die Gleichung
kannst du nach b auflösen, indem du die n-te Wurzel ziehst:
Du kannst die Gleichung aber auch nach n auflösen, indem du den Logarithmus zur Basis b bildest:
Die Potenzfunktion hat also zwei verschiedene Umkehrfunktionen, je nach dem, ob du nach der Basis oder nach dem Exponenten fragst.
Definition
Zu und ist der Logarithmus zur Basis b von x die folgende Zahl :
Die drei speziellen Basen , und ... kommen so häufig vor, dass sie eigene Symbole haben: , und . Zur Schreibweise: Beim Logarithmus werden oft die Klammern um das Argument weggelassen, wenn dieses nur eine einzelne Variable oder eine einzelne Zahl ist:
Der Zweierlogarithmus kommt besonders häufig in der Informatik vor. Der Zehnerlogarithmus wird viel in der Technik verwendet, der natürliche Logarithmus ist in der Mathematik heimisch.
Rechenregeln
Potenzieren und Logarithmieren (zur selben Basis) heben sich gegenseitig auf:
Logarithmieren: Aus "mal" wird "plus":
Logarithmieren: Aus "geteilt durch" wird "minus":
Logarithmieren: Aus "hoch" wird "mal":
Einen Logarithmus von einer Basis in eine andere Basis umrechnen
Das Verrückte ist: Die Logarithmen verhalten sich alle proportional zueinander, oder genauer, zwei Logarithmen zu verschiedenen Basen unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor voneinander (natürlich bei gleichem Argument ).
Du erhältst also den Logarithmus zur Basis , indem du den Logarithmus zur Basis mit dem konstanten Faktor multiplizierst.
Zum Beispiel möchtest du den Zweierlogarithmus von ausrechnen. Du kennst den Zehnerlogarithmus von , nämlich . Du multiplizierst also die mit und erhältst als Ergebnis .
Also gilt .
Anwendung: Rechenschieber
Addieren ist einfacher als Multiplizieren. Der Logarithmus bietet die Möglichkeit, das Multiplizieren auf das Addieren zurückzuführen. Verwende eine logarithmische Skala: Abstand von zwei Achsenbeschriftungen und proportional zu .

Ein Rechenschieber für Informatiker. Berechnet wird .
Aufgaben
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