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2. Logarithmen

Der Logarithmus gibt dir die Antwort auf eine Frage wie: "2 hoch wie viel ist 32?"

Die Antwort lautet: log2(32)=5.

Der Logarithmus zur Basis 2 von 32 ist gleich 5.

Die Gleichung

y=bn

kannst du nach b auflösen, indem du die n-te Wurzel ziehst:

b=yn

Du kannst die Gleichung aber auch nach n auflösen, indem du den Logarithmus zur Basis b bildest:

n=logb(y)

Die Potenzfunktion hat also zwei verschiedene Umkehrfunktionen, je nach dem, ob du nach der Basis b oder nach dem Exponenten n fragst.

Definition

Zu x>0 und b>0,b1 ist der Logarithmus zur Basis b von x die folgende Zahl y:

y=logb(x)  :  by=x

Die drei speziellen Basen 2, 10 und e=2,71828... kommen so häufig vor, dass sie eigene Symbole haben: ld, lg und ln. Zur Schreibweise: Beim Logarithmus werden oft die Klammern um das Argument weggelassen, wenn dieses nur eine einzelne Variable oder eine einzelne Zahl ist:

ld x:=log2x
lgx:=log10x
lnx:=logex

Der Zweierlogarithmus ld  kommt besonders häufig in der Informatik vor. Der Zehnerlogarithmus lg wird viel in der Technik verwendet, der natürliche Logarithmus ln ist in der Mathematik heimisch.

Rechenregeln

Potenzieren und Logarithmieren (zur selben Basis) heben sich gegenseitig auf:

(1)blogb(x) = x

(2)logb(bx)=x

Logarithmieren: Aus "mal" wird "plus":

logb(xy)=logb(blogb(x)blogb(y))einsetzen nach (1)=logb(blogb(x)+logb(y))Potenzrechnung=logb(x)+logb(y)nach (2)

Logarithmieren: Aus "geteilt durch" wird "minus":

logb(x/y)=logb(blogb(x)/ blogb(y))einsetzen nach (1)=logb(blogb(x)logb(y))Potenzrechnung=logb(x)logb(y)nach (2)

Logarithmieren: Aus "hoch" wird "mal":

logb(xn)=logb((blogb(x))n)einsetzen nach (1)=logb(blogb(x)  n)Potenzrechnung=logb(x)nnach (2)

Einen Logarithmus von einer Basis in eine andere Basis umrechnen

Das Verrückte ist: Die Logarithmen verhalten sich alle proportional zueinander, oder genauer, zwei Logarithmen zu verschiedenen Basen unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor voneinander (natürlich bei gleichem Argument x).

logc(x)=logc(blogb(x))einsetzen nach (1)=logc(b)logb(x)aus "hoch" wird "mal"

Du erhältst also den Logarithmus zur Basis c, indem du den Logarithmus zur Basis b mit dem konstanten Faktor logc(b) multiplizierst.

Zum Beispiel möchtest du den Zweierlogarithmus (c=2) von 1000 ausrechnen. Du kennst den Zehnerlogarithmus (b=10) von 1000, nämlich 3. Du multiplizierst also die 3 mit log2(10)3,322 und erhältst als Ergebnis 9,966.

log2(1000) = log2(10)log10(1000)  3,3223 = 9,966

Also gilt  29,9661000 .

Anwendung: Rechenschieber

Addieren ist einfacher als Multiplizieren. Der Logarithmus bietet die Möglichkeit, das Multiplizieren auf das Addieren zurückzuführen. Verwende eine logarithmische Skala: Abstand von zwei Achsenbeschriftungen x1 und x2 proportional zu logx1logx2=log(x1/x2).

Rechenschieber

Ein Rechenschieber für Informatiker. Berechnet wird 832=256.

Aufgaben

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