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Zentrische Streckung (Konstruktion)

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Die zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Sie vergrößert oder verkleinert jede Strecke vom Streckzentrum ZZ zu einem Punkt um den Streckfaktor kk.

Ist k>1\left|k\right|>1 wird die Strecke vergrößert. Ist k<1\left|k\right|<1, wird die Strecke verkleinert.

Zentrische Streckung durch Messen

Das Streckzentrum, welches mit ZZ bezeichnet wird, gibt das Zentrum an, von dem aus die Streckung der Figur erfolgen soll. Der Streckfaktor kk gibt an, in welchem Verhältnis sich die Strecke verändert.

Im Folgenden wird dir die zentrische Streckung durch Abmessen anhand eines Beispiels näher erklärt. Nehmen wir mal an, wir haben das Dreieck ABC und wollen dieses vom Zentrum aus mit dem Streckfaktor kk %%k%% = 2 %%k%%=2 %%k%%=2 zentrisch strecken.

Zentrum bei (1|1)

Du hast also beispielsweise in einem Koordinatensystem dein Streckzentrum ZZ bei (11)(1|1).

Dreieck ABC.

Nun hast du in deinem Koordinatensystem auch das Dreieck ABC mit den Punkten A(22)A(2|2), B(25)B(2|5) und C(53)C(5|3) gegeben.

Strecken Zentrum

Jetzt misst du mit einem Lineal die Strecken zwischen dem Streckzentrum ZZ und den Punkten A, B und C ab.

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Dann multiplizierst du die abgemessene Strecke mit dem Streckfaktor k=2k=2. Jetzt hast du deine Strecken zu den neuen Punkten und kannst diese bei A(33)A'(3|3), B(39)B'(3|9) und C(95)C'(9|5) einzeichnen.

Abbildungsdreieck A'B'C'

Zuletzt kannst du dann dein Dreieck A'B'C' einzeichnen. Und hast somit eine Abbildung deines ursprünglichen Dreiecks ABC.

Zentrische Streckung mit Zirkel und Lineal

AA wird mit einem Streckfaktor k=nmQk=\frac nm\in\mathbb{Q} (im Applet: k=75k=\frac{7}{5}, d.h. n=7n=7 und m=5m = 5) auf der Geraden gg mit Zentrum ZZ gestreckt.

  1. Konstruiere eine beliebige Gerade hh, die durch das Zentrum ZZ auf der Geraden g geht.

  2. Zeichne dann einen Kreis mit Zirkel um ZZ mit irgendeinem Radius rr.

  3. Zeichne sechs weitere Kreise, mit dem selben Radius, dessen Mittelpunkt der Schnittpunkt des vorherigen Kreises mit der Geraden hh ist, sodass du insgesamt 7 Kreise hast, da du laut Beispiel einen Streckfaktor von k=75k=\frac{7}{5}.

  4. Verbinde den mm-ten also den fünften Schnittpunkt (im Applet wird er mit "1" bezeichnet) mit AA.

  5. Konstruiere eine Parallele von der Strecke [A1] durch den n-ten bzw. dem siebten Schnittpunkt.

  6. Der Schnittpunkt dieser Parallelen mit der ursprünglichen Gerade gg ist der um k=nm=75k=\frac {n}{m}=\frac{7}{5} gestreckte Bildpunkt AA' von AA.

Hier findest du ein Applet, dass dir stufenweise die einzelnen Schritte grafisch erläutert. Ziehe hierfür mit deiner Maus, den Punkt den einzelnen Zahlen entlang, um die jeweiligen Etappen sehen zu können.

Beachte:

  • Ist k<1\left|k\right|<1, also n<mn<m, dann muss man natürlich mm Kreise (und nicht nur nn) zeichnen!

  • Für k>0k>0 : Der Punkt AA und sein Bildpunkt AA'  liegen auf der gleichen Seite bezüglich ZZ.

  • Für k<0k<0 : Der Punkt AA und sein Bildpunkt AA' liegen auf unterschiedlichen Seiten bezüglich ZZ.

  • Für k>1\left|k\right|>1 : Die Strecke ZA\overline{ZA} ist kleiner als die Strecke ZA\overline{ZA'}.

  • Für k<1\left|k\right|<1 : Die Strecke ZA\overline{ZA} ist größer als die Strecke ZA\overline{ZA'}.


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